A MATEMÁTICA E AS CONSTRUÇÕES

A evolução na construção de estruturas cada vez mais complexas e de elevado risco (centrais nucleares, barragens, grandes pontes e reservatórios, etc.), e a maior necessidade de economia e segurança, tomam importante o desenvolvimento de programas de cálculo automático que permitam uma modelação eficiente da geometria, do comportamento e da resposta dessas estruturas. Neste contexto, os modelos de análise dinâmica de estruturas tendo em consideração o comportamento não-­linear, são necessariamente imprescindíveis.
Efectivamente, a análise dinâmica toma-se essencial para estruturas sujeitas a acções dependentes do tempo, sendo de considerável importância prática o estudo em regime transitório, quando as acções são de curta duração (impactos e explosões), de tipo harmónico (acções cíclicas), ou de carácter determinístico (ventos e sismos traduzidos por acelerogramas), pois que nestes problemas a parcela transitória da resposta da estrutura é importante em relação á parcela estacionária da mesma, sendo bastante provável que naquelas circunstâncias, as estruturas apresentem a resposta mais próxima do colapso, permitindo assim predizer o comportamento nas condições mais desfavoráveis.

Quanto à análise não-­linear, toma-se necessária por motivos de economia e de segurança, dado que a análise supondo comportamento linear origina normalmente grandes reservas de resistência, além de não modelar satisfatoriamente o comportamento do material e da estrutura, no decurso da sua deformação ao longo do tempo, pois como é evidente, dado o carácter excepcional de muitas das acções dinâmicas, torna-se normalmente inevitável que na resposta da estrutura surjam deformações no domínio plástico. A grande divulgação e desenvolvimento nos últimos anos do método dos elementos finitos, a sua versatilidade na modelação de geometrias complexas e a simplicidade de implementação em programas de cálculo automático permitindo explorar as grandes vantagens dos computadores (memória e rapidez), explicam a sua grande utilização em análise estrutural, tendo em muitos casos de problemas de análise dinâmica ou não-­linear, permitido a obtenção de maior precisão que outros métodos aproximados, o que explica a sua escolha para o tipo de análise em questão. 

O facto de cada tipo de estrutura ter características de geometria e de comportamento diversos, implica a utilização de vários tipos de elementos finitos e de diferentes relações constitutivas do comportamento material.
O problema da análise dinâmica de estruturas, normalmente resume-se á intenção do conhecimento dos valores de deslocamentos e tensões, ao longo do tempo, em pontos de interesse da estrutura, com vista ao seu dimensionamento, de modo a resistir á acção dinâmica em causa.
A solução do problema é possível através da resolução da equação que traduz, em cada instante, o equilíbrio das diversas forças desenvolvidas no movimento do ponto da estrutura em questão, quando sujeita a carregamento dinâmico. As soluções analíticas exactas dessa equação diferencial de segunda ordem, são apenas possíveis para problemas com geometrias regulares, condições de fronteira e de carregamento simples e com comportamento linear, de modo que há necessidade de utilizar técnicas numéricas para a maioria dos problemas.
Os procedimentos a utilizar para a obtenção da solução numérica da equação de equilíbrio, podem ser divididos em dois grupos:
- O método da sobreposição modal, em que a resposta dinâmica é obtida a partir da sobreposição das respostas separadas de cada modo de vibração da estrutura.
- O método de integração directa, onde é utilizado um procedimento numérico incremental para as soluções no tempo. É necessário admitir em cada incremento, as variações de aceleração, velocidade e deslocamento, originando-se assim vários métodos de integração, com diferentes características de convergência, estabilidade e eficiência.
Esses métodos podem ser considerados como explícitos ou implícitos, tendo surgido também vários métodos mistos.

"Sem a Matemática não seria possível existir a Astronomia; sem os recursos prodigiosos da Astronomia, seria impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade."

Uma bela frase que usamos quando me formei na faculdade: "A matemática é o alfabeto através do qual Deus escreveu o mundo".

A descoberta teórica do PI

Quem pela primeira vez provou rigorosamente a existência do PI?

Bem, essa pergunta talvez nunca possa ser respondida. Que eu saiba, a mais antiga referência que temos de uma demonstração da existência do PI fala de Hippokrates de Chios, c. 430 AC. Trata-se de uma nota de Simplicius, filósofo grego que viveu quase mil anos depois de Hippokrates. Simplicius, no seu Comentário sobre o livro Physis, de Aristóteles, menciona que Eudemos na sua História da Geometria ( escrita c. 330 AC e, hoje, há muitos séculos totalmente perdida ) diz que Hippokrates demonstrou que a razão entre as áreas de círculos é igual à razão entre os quadrados dos respectivos diâmetros. 

Por outro lado, o mais antigo documento ainda existente e que traz demonstração da existência do PI é o livro Elementos de Euclides, escrito em c. 300 AC. Na proposição 2 do Livro XII dos Elementos, Euclides enuncia e prova que círculos estão um para o outro assim como os quadrados de seus diâmetros, que é o resultado atribuído acima a Hippokrates. Ademais, na proposição 18 desse Livro XII, Euclides enuncia e prova que esferas estão uma para a outra assim como a razão tríplice de seus diâmetros. 

Euclides encerrou o Livro XII de seus Elementos sem tratar da questão da área da esfera. ( Coube a Archimedes c. 250 AC mostrar que a razão entre as áreas de esferas é igual à razão entre os quadrados de seus diâmetros ). Mas o mais curioso é que em nenhum dos treze livros dos Elementos Euclides fala no PI da circunferência. 

Coube a Archimedes a tarefa de ir mais longe do que Euclides demonstrando a existência dos PI's que esse não abordou e estabelecendo resultados que permitem facilmente relacionar os quatro tipos de PI: o PI das circunferências, o PI de áreas de círculos, o PI de áreas de esferas e o PI de volumes de esferas.

Para levar a cabo esse Projeto PI, Archimedes precisou completar o conhecimento exposto nos Elementos de Euclides, descobrindo e demonstrando os seguintes três teoremas:

• a área de cada círculo é igual a de um triângulo reto cujos catetos valem o raio e a circunferência do círculo
  ( Archimedes: Sobre a Medida do Círculo, proposição 1 )
  
  
• a área de cada esfera é igual a quatro vezes a área de seu círculo máximo
  ( Archimedes: Sobre a Esfera e o Cilindro, Livro I, proposição 33 )
  
  
• a razão entre o volume da esfera e o do cilindro que a circunscreve é 2:3
  ( em verdade, Archimedes in Sobre a Esfera e o Cilindro, Livro I, proposição 35, trabalha com um cilindro maior, de mesma altura e mesmo eixo que o cilindro circunscrevendo a esfera, MAS com o dobro do diâmetro; essa proposição 35 relaciona o volume da esfera, o volume do tal cilindro maior e o volume do cone inscrito no cilindro maior:
  VOL ( esfera ) + VOL ( cone ) = 1/2 VOL ( cil maior ) 
  Ora, no Livro XII, prop. 10, Euclides provou que VOL ( cone ) = 1/3 VOL ( cil maior ), de modo que a relação acima mostra que:
  VOL ( esfera ) = 1/2 VOL ( cil maior ) - 1/3 VOL ( cil maior ) = 1/6 VOL ( cil maior ) = 2/3 VOL ( cil circunscrito ); 
  Archimedes acabou realmente usando a razão 2:3 e, aliás, sentia-se tão orgulhoso desse resultado que pediu que fosse gravada uma figura do mesmo em sua lápide )

PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' tambem um dos poucos objetos matematicos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.

Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para cálcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiôes em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.

Como uma consequência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:

• Lennart Berggren (ed) - Pi: A Source Book
  Springer Verlag, 2nd ed., NYork, 2000
  ( nada menos do que 736 paginas! )
• J. P. Delahaye - Le fascinant nombre Pi
  Editions Belin / Pour La Science, Paris, 1997.
• J. Arndt - PI, unleashed.
  Springer Verlag, NYork, 2000.

PI está em todos os lugares
O rolar das ondas numa praia, o trajeto aparente diário das estrelas no céu terrestre, o espalhamento de uma colônia de cogumelos, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação dos campos eletromagnéticos e um sem número de fenômenos e objetos, do mundo natural e da Matemática, estão associados às idéias de simetria circular e esférica. Ora, o estudo e uso de círculos e esferas, de um modo quase que inexorável, acaba produzindo o PI. Daí a ubiquidade desse número. Ele é uma das constantes universais da Matemática.
É importante chamarmos a atenção para o fato que também são frequentes as ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números primos próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações.