Matemática na Medicina

A Matemática está presente em diversos ramos da sociedade, profissionais de várias áreas utilizam cálculos matemáticos para aprofundarem seus estudos a fim de comprovar e relacionar situações teóricas através de números. 

Uma situação Matemática muito usual na Medicina é o cálculo o IMC – Índice de massa corpórea, que é calculado dividindo o “peso” da pessoa pela medida da altura elevada ao quadrado. O IMC serve para verificar se uma pessoa está abaixo, acima ou no “peso” ideal. Veja a tabela a seguir: 

níveis válidos para adultos

O cálculo deverá ser feito da seguinte forma: 

Exemplo 1 

Vamos calcular o IMC de uma pessoa que tem “peso” de 90 Kg e altura igual a 1,70m. 

Essa pessoa se classifica no item: Obesidade grau I.

Exemplo 2 

Qual o IMC de uma pessoa que mede 1,84m e tem “peso” igual a 84 Kg? 

Essa pessoa está no limite do “peso” normal.

Equação modular

Módulo ou valor absoluto de um número estão associados a sua distância do ponto de origem, observe a representação a seguir: 

Percebemos que a distância entre os números é a mesma, dessa forma dizemos que o valor absoluto dos números – 4 e + 4, indicados por |– 4| e |+ 4|, será 4. 

O módulo ou valor absoluto de um número x pode ser indicado pelo próprio x, se x é positivo ou nulo, e o simétrico de x, se x é negativo. Observe a conclusão geral: 

Exemplos 

a) |+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3 

b) |10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10 

c) |x – 4| = 

x – 4, se x – 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 4 

– (x – 4), se x – 4 < 0, ou seja, x < 4 

Equações Modulares 

Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita. 

Exemplos de equações modulares: 

|x| = 7 

|x + 6| = x + 6 

|x – 3| + 4x = 7 

|x + 2| = 4 

Formas de resolução 

Exemplo 1 

|x + 2| = 4 

Condições: 

x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 

Resolução: 

x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 

x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 

S = {–6; 2} 

Exemplo 2

|4x – 8| = x + 1 

Condições: 

|4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1. 

|4x – 8| = x + 1 

4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1) 

Resolução: 

4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3 

4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7/5 

Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3} 

Exemplo 3

|x + 1| = |x – 3| 

x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível) 

x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1 

Solução: {1} 

Exemplo 4

|x² – 5x + 6| = 2 

x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais) 

x’ = 1 e x” = 4 

x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais) 

Solução: {1,4}

Critérios de Divisibilidade

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Para que a divisão entre os números resulte em partes inteiramente iguais, necessitamos ter conhecimento sobre algumas regras de divisibilidade. 

Regras de Divisibilidade 

Divisibilidade por 1 

Todo número é divisível por 1. 

Divisibilidade por 2 

Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8. 

12:2 = 6 

18:2 = 9 

102:2 = 51 

1024:2 = 512 

10256:2 = 5128 

Divisibilidade por 3 

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Exemplo: 

66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12 

60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6 

81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9 

558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18 

Divisibilidade por 4 

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4. 

288 : 4 = 72, 88 é par e a sua metade será par. 

144 : 4 = 36, 44 é par e sua metade será par. 

100 : 4 = 25, pois possui na última e penúltima casa o algarismo 0. 

Divisibilidade por 5 

Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5. 

10:5 = 2 

25:5 = 5 

75:5 = 15 

200:5 = 40 

Divisibilidade por 6 

Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante. 

42 : 6 = 7, pois 42 : 2 = 21 e 42 : 3 = 14 

54 : 6 = 9, pois 54 : 2 = 27 e 54 : 3 = 18 

132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44 

570: 6 = 95, pois 570 : 2 = 285 e 570 : 3 = 190 

Divisibilidade por 7 

Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do número. Se o resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7. Exemplo: 

203 : 7 = 29, pois 2*3 = 6 e 20 – 6 = 14 

294 : 7 = 42, pois 2*4 = 8 e 29 – 8 = 21 

840 : 7 = 120, pois 2*0 = 0 e 84 – 0 = 84 

Divisibilidade por 8 

Todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou os últimos três números forem divisíveis por 8. Exemplo: 

1000 : 8 = 125, pois termina em 000 

1208 : 8 = 151, pois os três últimos são divisíveis por 8 

Divisibilidade por 9 

É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo: 

90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9 

1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9 

4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27 

Divisibilidade por 10 

Todo número terminado em 0 será divisível por 10 

100:10 = 10 

50:10 = 5 

10:10 = 1 

2000:10 = 200 

Divisibilidade por 11 

Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11. 

1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11 

2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22 

7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66 

Divisibilidade por 12 

São os números divisíveis por 3 e 4. 

276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69 

672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168

Triângulo "Segmentos de retas"

O triângulo é a única figura geométrica que não tem diagonal, mas tem segmentos de retas que parte de um vértice ao encontro do seu lado oposto. Esses segmentos são: altura, mediana ou bissetriz. 

►Altura 

Altura de um triângulo é indicada por um segmento de reta que parte do vértice formando com o lado oposto um ângulo de 90°. 

Um triângulo qualquer tem três alturas, cada uma relativa a um lado. 

►Mediana 

Mediana de um triângulo é o segmento de reta que parte do vértice até o ponto médio do lado oposto. 

Um triângulo qualquer tem três medianas, cada uma relativa a um lado. 

►Bissetriz interna 

Bissetriz interna é o segmento de reta que parte de um vértice até o lado oposto, dividindo o ângulo do vértice ao meio. 

Um triângulo qualquer tem três bissetrizes internas, respectivas a cada um dos três ângulos internos.

O Triângulo Isósceles e suas Particularidades

O triângulo é um dos polígonos mais simples da Geometria, em relação ao número de lados e ângulos, porém um dos mais importantes e com maior aplicabilidade na construção de estruturas relacionadas a questões de segurança. Os triângulos são classificados quanto aos ângulos e quanto à medida de seus lados. Referente à medida dos lados, temos os triângulos:

Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

Equilátero: possui os lados com medidas iguais.

Isósceles: dois de seus lados possuem a mesma medida.

Enfatizaremos nosso estudo no triângulo isósceles. Observe:

Em qualquer triângulo isósceles, os ângulos da base possuem a mesma medida, isto é, são congruentes.

Os lados PQ e PR possuem a mesma medida.

Os ângulos de vértices Q e R pertencentes à base possuem a mesma medida.

No triângulo isósceles, ao traçarmos a mediana, a altura e a bissetriz em relação à base, observaremos o mesmo segmento. Dessa forma, concluímos que esses elementos pertencentes ao triângulo isósceles são coincidentes.

Em relação à base QR, o segmento PS determina a mediana, a bissetriz e a altura, pois PS une o vértice P ao ponto médio S da base QR, divide o ângulo de vértice em P em duas partes iguais e forma com o segmento da base um ângulo de 90º, respectivamente.

Triângulos "Mediana, bissetriz e altura"

Sabemos que os elementos básicos de um triângulo são: os vértices, os lados e os ângulos, mas não são os únicos. Em um triângulo identificamos outros elementos, como mediana, bissetriz e altura. 

Vértices, lados e ângulos. 

Vértices: A, B e C 

Lados: AB, BC e AC 

Ângulos: A, B e C 

Mediana 

Mediana é um segmento que divide as bases do triângulo em duas partes iguais. Dessa forma temos que mediana é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo e extremidade no ponto médio do lado oposto ao vértice. Observe a figura:

A, B e C são os vértices do ΔABC. 

M ponto médio da base BC, dessa forma BM = MC. 

AM segmento de reta com extremidades no vértice A e no ponto médio M, portanto, nesse exemplo podemos dizer que o segmento AM é a mediana do ΔABC. 

Bissetriz 

Bissetriz também é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Sendo que ela divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice. Veja o exemplo:

AS é um segmento de reta que dividiu o ângulo  em duas partes iguais. 

Altura 

Encontramos a medida da altura de um triângulo através de um segmento de reta com origem em um dos vértices e perpendicular (forma um ângulo de 90º) ao lado oposto. 

Altura no triângulo acutângulo

O segmento AH tem origem no vértice A e é perpendicular ao lado BC, portanto, AH é a altura do ΔABC. 

Altura no triângulo retângulo

Nesse triângulo, o segmento EF representa a altura do ΔEFG, pois é perpendicular ao lado FG. 

Altura no triângulo obtusângulo

A base RQ foi prolongada formando o segmento RX. Do vértice P ao ponto x formamos um segmento de reta perpendicular a RX, dessa forma, PX é a altura do ΔPQR.

Triângulos "Identidade entre"

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos no mesmo posicionamento forem iguais e os lados correspondentes, proporcionais. Observe:

Os ângulos A, B e C são, de forma posicional, iguais aos ângulos A’, B’ e C’.

Os lados a, b e c são iguais de maneira proporcional aos ângulos a’, b’ e c’:

, em que k é uma constante de proporcionalidade.

Na determinação da identidade entre triângulos estabelecemos uma propriedade conhecida como Teorema Fundamental da Semelhança, que diz:

Se em um triângulo for traçado um segmento de reta paralelo a um dos lados e que intersecta os outros dois lados em pontos diferentes, temos que será determinado um segundo triângulo semelhante ao primeiro. Observe a figura a seguir:

Observe a semelhança entre os lados:

AB proporcional a AE

AC proporcional a AD

BC proporcional a DE

Essa relação é determinada de acordo com o Teorema de Tales, que enuncia:

Retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais.

Exemplo

De acordo com as propriedades da semelhança e com o Teorema de Tales, determinaremos o valor de x na figura a seguir:

Triângulos "Conceito e Classificação"

Uma série sobre Triângulos.

Conceitos, classificações, ângulos dos triângulos.

Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.

Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º.

Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: 

♦ A, B e C são os vértices. 

♦ Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros): , , segmentos de retas. 

♦ Os ângulos têm duas formas de representá-los: no caso do triângulo ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos: Â , , ? ou A C, B?A, BÂC.

Tipos de triângulos 

♦ O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.

Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes.

Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais. 

Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60°. 

♦ O triângulo pode ser classificado segundo seus ângulos internos.

Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.

Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.

Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°. 

Condição de existência de um triângulo

Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência:

Para construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

| b - c | < a < b + c

| a - c | < b < a + c

| a - b | < c < a + b

Exemplo:

14 – 8 < 10 < 14 + 10

14 – 10 < 8 < 14 + 10

10 – 8 < 14 < 10 + 8

Congruência e Semelhança de Triângulos

Para que você possa começar a melhorar sua identificação em triângulos.

Temos que dois triângulos são congruentes:

Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.

Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.

2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.

Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Cálculo do Consumo de Combustível de um Automóvel

Os automóveis possuem potências variadas (de acordo com os motores), sendo que o consumo de combustível depende dessa potência e de outras variáveis.

O cálculo será apresentado a fim de que os donos de automóveis tomem conhecimento do consumo de seu veículo e verifiquem junto às montadoras se este consumo condiz com a natureza do mesmo.

1º passo: ao abastecer seu veículo registre a quantidade de combustível colocada no tanque.

2º passo: zerar o odômetro (marcador de distância, localizado no painel do veículo)

Ao verificar que o marcador de combustível está próximo da reserva, verifique os quilômetros rodados. O consumo será feito dividindo os quilômetros rodados pela quantidade de litros que fora abastecido anteriormente.

Exemplo

Um carro foi abastecido com 50 litros de gasolina, percorrendo aproximadamente 460 Km. Qual o consumo médio do carro?

Km / l = (460 / 50) = 9,2

Aproximadamente 9,2 Km por litro de gasolina.

Olimpíadas de 2012 – Londres

Olimpíadas de Londres

As Olimpíadas de Londres 2012 começam oficialmente no dia 27 de julho, mas para os ingleses o maior evento esportivo do mundo teve início antes mesmo das Olimpíadas de Pequim em 2008. No dia 6 de junho de 2005, a capital da Inglaterra foi escolhida sede dos jogos olímpicos de 2012, ao vencer a disputa contra Madri, Moscou, Nova Iorque e Paris. Até a abertura, foram sete anos de muitas obras, treinamento e planejamento.

Embora o evento seja conhecido como as Olimpíadas de Londres, outras cidades da Grã-Bretanha também irão receber jogos, as subsedes do evento são: Manchester, Coventry, Newcastle, Glasgow e Cardiff, que receberão partidas de futebol, além de Portland, Buckinghamshire e Essek, onde está localizado o Castelo de Hadleigh. Outra peculiaridade envolvendo o futebol é que as partidas começam antes da abertura oficial devido à quantidade de jogos e o tempo para recuperação dos atletas. A seleção brasileira masculina, por exemplo, estreia dia 26 de julho contra o Egito.

Ao todo, 204 nações estarão presentes nas Olimpíadas de Londres disputando medalhas em 36 modalidades (imagem acima). Em relação aos jogos olímpicos de 2008, foram excluídos o beisebol e o softbol. Aproximadamente 16 mil atletas são esperados para os jogos, isso sem contar os treinadores, fisioterapeutas, dirigentes e demais profissionais que formam uma delegação olímpica. O Brasil estará presente em Londres com 259 atletas, menos da metade da maior delegação, a da Grã-Bretanha, com 542.

A maior obra realizada para o evento foi o Estádio Olímpico de Londres (imagem abaixo), palco da abertura e encerramento dos jogos, além das disputas do atletismo. Alguns locais de competição não precisaram ser construídos, como o ginásio The O2, que abrigará as competições de basquete e ginástica olímpica, Estádio Wembley, sede das finais do futebol, e as quadras de tênis de Wimbledon.

Em todas as edições de jogos olímpicos e paraolímpicos são escolhidos mascotes para representar a sede. No caso de Londres 2012, foram escolhidos dois mascotes, Wenlock e Mandeville, que representam gotas de aço da cidade industrial de Bolton. O nome Wenlock vem da cidade de Munch Wenlock, onde ainda no século XIX eram realizadas competições que teriam influenciado a primeira Olimpíada da Era Moderna em 1896, em Atenas. Já Mandeville vem da vila de Stoke Mandeville, que recebeu competições para portadores de deficiência em 1948, no mesmo dia da abertura das Olímpiadas de Londres daquele ano.

Destaques

Grandes nomes do esporte irão competir nas Olimpíadas de Londres. Um deles é Usain Bolt, velocista jamaicano detentor do recorde mundial dos 100 e 200 metros rasos. Na natação, teremos o americano Michel Phelps, que se conseguir mais três medalhas irá superar o recorde da ex-ginasta soviética Larisa Latynina, que conquistou 18, além, é claro, do brasileiro César Cielo, recordista mundial dos 50 e 100m livres em piscina olímpica.

Nos esportes coletivos será legal acompanhar a seleção masculina de basquete dos Estados Unidos, considerada uma das melhores de todos os tempos, e a seleção brasileira masculina de futebol, que busca sua primeira medalha de ouro. Outros esportes exclusivamente coletivos presentes nas Olimpíadas são o vôlei, handebol e hóquei de grama.

Os jogos Olímpicos de Londres encerrarão no dia 12 de agosto de 2012. Próxima parada, Rio 2016!

Curiosidade.

Quantas casas decimais do número Pi são conhecidas?

São conhecidas 51539600000 casas decimais de Pi, calculadas por Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tokio em 1997. Em 21/8/1998 foi calculada pelo projeto Pihex a 5000000000000a. casa binária de Pi.

Resolução de uma equação!

Resolução de uma equação

Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos doconjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

Sendo , resolva a equação .

MMC (4, 6) = 12

-9x = 10 => Multiplicador por (-1)

9x = -10

Como , então .

Sendo , resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 

2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3

3x = -1

Como , então

Equações impossíveis e identidades

Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1).

Observe, agora, a sua resolução:

2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1

12x - 8 = 12x - 3 

12x - 12x = - 3 + 8

0 . x = 5

Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.

Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e

Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.

Observe a sua resolução:

-3x + 3x = 2 - 10 + 8

0 . x = 0 

Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possuiinfinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.