Triângulos "Mediana, bissetriz e altura"

Sabemos que os elementos básicos de um triângulo são: os vértices, os lados e os ângulos, mas não são os únicos. Em um triângulo identificamos outros elementos, como mediana, bissetriz e altura. 

Vértices, lados e ângulos. 

Vértices: A, B e C 

Lados: AB, BC e AC 

Ângulos: A, B e C 

Mediana 

Mediana é um segmento que divide as bases do triângulo em duas partes iguais. Dessa forma temos que mediana é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo e extremidade no ponto médio do lado oposto ao vértice. Observe a figura:

A, B e C são os vértices do ΔABC. 

M ponto médio da base BC, dessa forma BM = MC. 

AM segmento de reta com extremidades no vértice A e no ponto médio M, portanto, nesse exemplo podemos dizer que o segmento AM é a mediana do ΔABC. 

Bissetriz 

Bissetriz também é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Sendo que ela divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice. Veja o exemplo:

AS é um segmento de reta que dividiu o ângulo  em duas partes iguais. 

Altura 

Encontramos a medida da altura de um triângulo através de um segmento de reta com origem em um dos vértices e perpendicular (forma um ângulo de 90º) ao lado oposto. 

Altura no triângulo acutângulo

O segmento AH tem origem no vértice A e é perpendicular ao lado BC, portanto, AH é a altura do ΔABC. 

Altura no triângulo retângulo

Nesse triângulo, o segmento EF representa a altura do ΔEFG, pois é perpendicular ao lado FG. 

Altura no triângulo obtusângulo

A base RQ foi prolongada formando o segmento RX. Do vértice P ao ponto x formamos um segmento de reta perpendicular a RX, dessa forma, PX é a altura do ΔPQR.

Triângulos "Identidade entre"

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos no mesmo posicionamento forem iguais e os lados correspondentes, proporcionais. Observe:

Os ângulos A, B e C são, de forma posicional, iguais aos ângulos A’, B’ e C’.

Os lados a, b e c são iguais de maneira proporcional aos ângulos a’, b’ e c’:

, em que k é uma constante de proporcionalidade.

Na determinação da identidade entre triângulos estabelecemos uma propriedade conhecida como Teorema Fundamental da Semelhança, que diz:

Se em um triângulo for traçado um segmento de reta paralelo a um dos lados e que intersecta os outros dois lados em pontos diferentes, temos que será determinado um segundo triângulo semelhante ao primeiro. Observe a figura a seguir:

Observe a semelhança entre os lados:

AB proporcional a AE

AC proporcional a AD

BC proporcional a DE

Essa relação é determinada de acordo com o Teorema de Tales, que enuncia:

Retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais.

Exemplo

De acordo com as propriedades da semelhança e com o Teorema de Tales, determinaremos o valor de x na figura a seguir:

Triângulos "Conceito e Classificação"

Uma série sobre Triângulos.

Conceitos, classificações, ângulos dos triângulos.

Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.

Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º.

Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: 

♦ A, B e C são os vértices. 

♦ Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros): , , segmentos de retas. 

♦ Os ângulos têm duas formas de representá-los: no caso do triângulo ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos: Â , , ? ou A C, B?A, BÂC.

Tipos de triângulos 

♦ O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.

Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes.

Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais. 

Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60°. 

♦ O triângulo pode ser classificado segundo seus ângulos internos.

Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.

Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.

Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°. 

Condição de existência de um triângulo

Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência:

Para construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

| b - c | < a < b + c

| a - c | < b < a + c

| a - b | < c < a + b

Exemplo:

14 – 8 < 10 < 14 + 10

14 – 10 < 8 < 14 + 10

10 – 8 < 14 < 10 + 8

Congruência e Semelhança de Triângulos

Para que você possa começar a melhorar sua identificação em triângulos.

Temos que dois triângulos são congruentes:

Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.

Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.

2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.

Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Cálculo do Consumo de Combustível de um Automóvel

Os automóveis possuem potências variadas (de acordo com os motores), sendo que o consumo de combustível depende dessa potência e de outras variáveis.

O cálculo será apresentado a fim de que os donos de automóveis tomem conhecimento do consumo de seu veículo e verifiquem junto às montadoras se este consumo condiz com a natureza do mesmo.

1º passo: ao abastecer seu veículo registre a quantidade de combustível colocada no tanque.

2º passo: zerar o odômetro (marcador de distância, localizado no painel do veículo)

Ao verificar que o marcador de combustível está próximo da reserva, verifique os quilômetros rodados. O consumo será feito dividindo os quilômetros rodados pela quantidade de litros que fora abastecido anteriormente.

Exemplo

Um carro foi abastecido com 50 litros de gasolina, percorrendo aproximadamente 460 Km. Qual o consumo médio do carro?

Km / l = (460 / 50) = 9,2

Aproximadamente 9,2 Km por litro de gasolina.