Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24 num produto:

24 = 4 x 6

24 = 2 x 2 x 6

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.

Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a fatoração do número 630. 

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.

630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Determinação dos divisores de um número!

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.

Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatores primos;

2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número; 

3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo; 

4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. 

Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Números Primos!

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:

1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.

2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.

3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações:

=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.

=> 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.

Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:

=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,

=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

não é par, portanto não é divisível por 2;

1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;

não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

não é par, portanto não é divisível por 2;

1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;

não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).

por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

DIVISIBILIDADE - Critérios

Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos:

1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.

2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:

234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:

1800 é divisível por 4, pois termina em 00.

4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.

1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.

3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:

1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.

2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.

3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. 

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.

Exemplos:

1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).

2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).

3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).

4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:

1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.

2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.

3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.

4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:

2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:

1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.

2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.

Exemplos:

1) 87549

Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22

Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11

Si-Sp = 22-11 = 11

Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.

2) 439087

Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10

Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21

Si-Sp = 10-21

Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.

Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. 

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:

1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).

2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).

3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:

1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).

2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).

3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 25

Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.

Exemplos:

200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.

Curiosidade Matemática.

Você sabe qual o maior número primo conhecido?

O maior número primo conhecido é 2^32.582.657-1, que tem 9.808.358 dígitos e foi descoberto em 4/9/2006 pelos Drs. Curtis Cooper, Steven Boone e sua equipe. Este primo tem 650.000 dígitos a mais do que o maior primo encontrado por eles mesmos em dezembro de 2005.

Potenciação e radiciação de números fracionários

Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

Multiplicação e divisão de números fracionários

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Adição e subtração de números fracionários

Temos que analisar dois casos:

1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Observe os exemplos:

2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações .

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Números fracionários

Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?

5 . X = 1

Substituindo X, temos:

X por 0 temos: 5.0 = 0

X por 1 temos: 5.1 = 5.

Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.

Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número fracionário .

Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois .

Frações equivalentes!

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Exemplo:  são equivalentes

Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração .

Portanto as frações  são algumas das frações equivalentes a .

Simplificação de frações

Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração  foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração  pelo fator comum 3. Dizemos que a fração  é uma fração simplificada de .

A fração  não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração  não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum.

Como se lê uma fração!

As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...

um meio dois quintos

um terço quatro sétimos

um quarto sete oitavos

um quinto quinze nonos

um sexto um décimo

um sétimo um centésimo

um oitavo um milésimo

um nono oito milésimos

Classificação das frações:

Fração própria: o numerador é menor que o denominador:

Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.