Medidas de Tempo - Horas

Atividades:

Ábaco

O ábaco é um instrumento bem sucedido que, segundo os estudiosos, foi uma invenção dos chineses para facilitar os cálculos, pois com o passar do tempo foi surgindo a necessidade de fazer “contas” cada vez mais complexas, assim inventaram o ÁBACO, formado por fios paralelos e contas ou arruelas deslizantes, que de acordo com a sua posição, representa a quantidade a ser trabalhada, contém 2 conjuntos por fio, 5 contas no conjunto das unidades e 2 contas que representam 5 unidades.

Um exemplo de Ábaco.

O ábaco foi disseminando por toda a sociedade, com a mesma função, o que mudava era somente sua nomenclatura: O ábaco japonês é conhecido como SOROBAN, os russos chamam de TSCHOTY.

Uma pessoa que manuseava um ábaco com agilidade conseguia fazer uma multiplicação de 5 algarismos com a mesma rapidez que uma pessoa faz hoje utilizando uma calculadora digital.

Ainda hoje, depois de 3 mil anos da sua invenção, comerciantes de algumas regiões da Ásia utilizam ainda esse instrumento.

Observem nas figuras abaixo várias tipos de ábacos:

Como fazer os cálculos no ábaco?

O cálculo começa à esquerda, ou na coluna mais alta envolvida em seu cálculo, trabalha da esquerda para a direita. Assim, se tiver 548 e desejar somar com 637, primeiro colocará 548 na calculadora. Daí, adiciona 6 ao 5. Segue o padrão 6 = 10 – 4 por remover o 5 na vara das centenas e adicionar 1 na mesma vara (- 5 + 1 = - 4) daí, adicione uma das contas de milhares à vara da esquerda. Daí passa o três ao quatro, o sete ao oito, no ábaco aparecerá a resposta: 1.185.

Por operar assim, da esquerda para a direita, o cálculo pode ser iniciado assim que souber o primeiro dígito. Na aritmética mental ou escrita, o cálculo começa a partir das unidades ou do lado direito do problema.

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)!!!

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.

24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro.

Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

Exemplo: os múltiplos de 7 são:

7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

Observações importantes:

1) Um número tem infinitos múltiplos

2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...

Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado demínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

CÁLCULO DO M.M.C.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos

2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 3

30 = 2 x 3 x 5

m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:

12 = 22 x 3

30 = 2 x 3 x 5 

m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 

PROPRIEDADE DO M.M.C.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:

m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.

Máximo Divisor Comum!

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comumdesses números. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:

mdc (6,12) = 6

mdc (12,20) = 4

mdc (20,24) = 4

mdc (12,20,24) = 4

mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;

2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:

36 = 2 x 2 x 3 x 3

90 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3

Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:

36 = 22 x 32

90 = 2 x 32 x5

Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor;

48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;

30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo

divisor comum desses números é 1.

Exemplos:

Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.

Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 3

18 = 2 x 32

30 = 2 x 3 x 5

Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados.

Grandes Homens, Gloriosas Descobertas

"Os números governam o mundo" (Platão)

A história da Matemática é repleta de estudiosos que buscavam explicações para as mais fascinantes situações. As formas da natureza eram analisadas e admiradas, crescendo a curiosidade e a incessante busca por fundamentos que traduzissem os mistérios das formas estruturais e geométricas. 

Platão atribuiu aos sólidos de sua autoria, representações aos elementos da natureza: universo, terra, água, ar e fogo. Atualmente podemos encontrar nas áreas de conhecimento estruturas moleculares que se assemelham aos sólidos de Platão. 

Euler desenvolveu uma relação que calculava o número de faces, arestas e vértices dos poliedros, denominada relação de Euler V + F – A = 2. 

Pitágoras descobriu uma importante relação que atualmente serve de base em várias demonstrações matemáticas, como em diversas aplicações na Física. 

Fibonacci estudava as relações da Matemática com a natureza e a partir desse estudo nasceu o número de ouro, uma das mais perfeitas relações matemáticas descobertas até hoje, várias formas da natureza são explicadas pelo número de ouro, pinturas clássicas obedecem à divina proporção, atualmente cirurgias plásticas são realizadas com base na relação de ouro, buscando beleza e a tão sonhada perfeição corporal. 

Tales de Mileto apresentava uma técnica de medir longas distâncias, o Teorema de Tales vangloriava por sua aplicabilidade e exatidão em cálculos até então aproximados. Hoje em dia sua teoria constitui a base de modernos equipamentos, capazes de medir distâncias inalcançáveis pelo homem, o teodolito é um desses aparelhos. 

Por volta de 285 – 194 a.C., um matemático chamado Eratóstenes criou a esfera armilar (instrumento da astronomia, aplicado na navegação marítima para fins de localização), grande conhecedor e admirador da trigonometria, ele mediu o comprimento da circunferência máxima da terra. 

A contribuição desses e de outros estudiosos fazem da Matemática uma ferramenta muito útil e importante no mundo moderno, facilitando os diversos trabalhos realizados pelo homem cotidianamente.

A Presença da Matemática na Astronomia

Só para ilustrar, caso deseje mais informações pesquise a fundo.

Estudos feitos por Johannes Kepler (1571 – 1630), baseados na teoria heliocêntrica de Nicolau Copérnico, que dizia que o sol era o centro do Universo e que todos os planetas giram em torno dele, foi decididamente introduzida após Kepler pesquisar e comprovar realmente que os planetas giram em torno do sol, descrevendo uma forma elíptica. O sol sempre estará em um dos focos da elipse.

Na elipse, a excentricidade é que determina a forma mais ou menos achatada da elipse, os valores variam de 0 a 1, quanto mais próximo de 1 mais achatada é a elipse.
A excentricidade é calculada usando a seguinte expressão:

e = 2c / 2a = c / a

Aproveitem ao máximo e se aperfeiçoem sempre.

Abraços e até a próxima.

Corridas Automobilísticas e Matemática

Os carros de corrida se diferem dos carros de passeio, em razão de algumas características, como alta velocidade, altura em relação ao solo, potência dos motores, consumo de combustível, aros das rodas e peças auxiliares, como os aerofólios dianteiro e traseiro. Algumas categorias privilegiam a estrutura do carro de passeio, ocasionando mudanças somente na parte da suspensão, motor, câmbios, rodas e pneus. 

No caso de um carro de fórmula 1, o projeto é totalmente voltado para a inovação tecnológica, pois eles são construídos no intuito de desempenhar altas velocidades. Em uma viagem, um carro de passeio desenvolve uma velocidade média em torno de 80 a 100 km/h, já um fórmula 1, desenvolve, dependendo do circuito, velocidade média entre 165km/h a 240km/h. 

A velocidade de um fórmula 1, ao final de uma reta longa, pode chegar bem próximo de 370 km/h. Esses carros conseguem chegar a altas velocidades em razão de sua aerodinâmica projetada para tal finalidade. 

Entre os diversos componentes responsáveis pela aerodinâmica de um fórmula 1, como o difusor, as placas externas, os defletores laterais e o assoalho, destacamos os aerofólios dianteiro e traseiro como os responsáveis por “segurarem” o carro na pista. Eles possuem a mesma função da asa de um avião, a única diferença é que eles trabalham de forma inversa. A asa de um avião tem a função de dar sustentabilidade e a de um fórmula 1, de criar uma força vertical denominada descendente (downforce), empurrando o carro no sentido do solo. 

Os engenheiros, com a ajuda do piloto, buscam o melhor ângulo de inclinação das asas dianteira e traseira a fim de se obter o melhor equilíbrio entre a força descendente e a resistência do ar. Nessa regulagem, os mecânicos utilizam as unidades de medidas de ângulos: grau, minutos e segundos. 

As altas velocidades na reta necessitam de menos downforce, isto é, em virtude de o carro estar em linha reta, a força descendente pode ser menor, possibilitando ao carro atingir altas velocidades. Mas nos momentos de realizar uma curva, essa força é utilizada para manter o carro na trajetória correta, sem que ele saia do traçado. Os aerofólios também diminuem a turbulência ocasionada pelo vento contrário que atinge o carro em movimento. A regulagem das asas varia de acordo com a pista, tipo de pilotagem, classe de pneus, condições climáticas, entre outras situações. Por isso, é de extrema importância que os engenheiros, mecânicos e piloto encontrem o acerto ideal para a conquista de resultados satisfatórios.

Raízes de uma equação!

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.

Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:

Substituir a incógnita por esse número.

Determinar o valor de cada membro da equação.

Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)

Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)

Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)

Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)

Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)

Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F)

Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Matemática na Medicina

A Matemática está presente em diversos ramos da sociedade, profissionais de várias áreas utilizam cálculos matemáticos para aprofundarem seus estudos a fim de comprovar e relacionar situações teóricas através de números. 

Uma situação Matemática muito usual na Medicina é o cálculo o IMC – Índice de massa corpórea, que é calculado dividindo o “peso” da pessoa pela medida da altura elevada ao quadrado. O IMC serve para verificar se uma pessoa está abaixo, acima ou no “peso” ideal. Veja a tabela a seguir: 

níveis válidos para adultos

O cálculo deverá ser feito da seguinte forma: 

Exemplo 1 

Vamos calcular o IMC de uma pessoa que tem “peso” de 90 Kg e altura igual a 1,70m. 

Essa pessoa se classifica no item: Obesidade grau I.

Exemplo 2 

Qual o IMC de uma pessoa que mede 1,84m e tem “peso” igual a 84 Kg? 

Essa pessoa está no limite do “peso” normal.

Equação modular

Módulo ou valor absoluto de um número estão associados a sua distância do ponto de origem, observe a representação a seguir: 

Percebemos que a distância entre os números é a mesma, dessa forma dizemos que o valor absoluto dos números – 4 e + 4, indicados por |– 4| e |+ 4|, será 4. 

O módulo ou valor absoluto de um número x pode ser indicado pelo próprio x, se x é positivo ou nulo, e o simétrico de x, se x é negativo. Observe a conclusão geral: 

Exemplos 

a) |+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3 

b) |10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10 

c) |x – 4| = 

x – 4, se x – 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 4 

– (x – 4), se x – 4 < 0, ou seja, x < 4 

Equações Modulares 

Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita. 

Exemplos de equações modulares: 

|x| = 7 

|x + 6| = x + 6 

|x – 3| + 4x = 7 

|x + 2| = 4 

Formas de resolução 

Exemplo 1 

|x + 2| = 4 

Condições: 

x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 

Resolução: 

x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 

x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 

S = {–6; 2} 

Exemplo 2

|4x – 8| = x + 1 

Condições: 

|4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1. 

|4x – 8| = x + 1 

4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1) 

Resolução: 

4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3 

4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7/5 

Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3} 

Exemplo 3

|x + 1| = |x – 3| 

x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível) 

x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1 

Solução: {1} 

Exemplo 4

|x² – 5x + 6| = 2 

x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais) 

x’ = 1 e x” = 4 

x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais) 

Solução: {1,4}

Critérios de Divisibilidade

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Para que a divisão entre os números resulte em partes inteiramente iguais, necessitamos ter conhecimento sobre algumas regras de divisibilidade. 

Regras de Divisibilidade 

Divisibilidade por 1 

Todo número é divisível por 1. 

Divisibilidade por 2 

Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8. 

12:2 = 6 

18:2 = 9 

102:2 = 51 

1024:2 = 512 

10256:2 = 5128 

Divisibilidade por 3 

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Exemplo: 

66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12 

60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6 

81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9 

558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18 

Divisibilidade por 4 

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4. 

288 : 4 = 72, 88 é par e a sua metade será par. 

144 : 4 = 36, 44 é par e sua metade será par. 

100 : 4 = 25, pois possui na última e penúltima casa o algarismo 0. 

Divisibilidade por 5 

Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5. 

10:5 = 2 

25:5 = 5 

75:5 = 15 

200:5 = 40 

Divisibilidade por 6 

Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante. 

42 : 6 = 7, pois 42 : 2 = 21 e 42 : 3 = 14 

54 : 6 = 9, pois 54 : 2 = 27 e 54 : 3 = 18 

132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44 

570: 6 = 95, pois 570 : 2 = 285 e 570 : 3 = 190 

Divisibilidade por 7 

Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do número. Se o resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7. Exemplo: 

203 : 7 = 29, pois 2*3 = 6 e 20 – 6 = 14 

294 : 7 = 42, pois 2*4 = 8 e 29 – 8 = 21 

840 : 7 = 120, pois 2*0 = 0 e 84 – 0 = 84 

Divisibilidade por 8 

Todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou os últimos três números forem divisíveis por 8. Exemplo: 

1000 : 8 = 125, pois termina em 000 

1208 : 8 = 151, pois os três últimos são divisíveis por 8 

Divisibilidade por 9 

É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo: 

90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9 

1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9 

4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27 

Divisibilidade por 10 

Todo número terminado em 0 será divisível por 10 

100:10 = 10 

50:10 = 5 

10:10 = 1 

2000:10 = 200 

Divisibilidade por 11 

Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11. 

1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11 

2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22 

7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66 

Divisibilidade por 12 

São os números divisíveis por 3 e 4. 

276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69 

672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168

Triângulo "Segmentos de retas"

O triângulo é a única figura geométrica que não tem diagonal, mas tem segmentos de retas que parte de um vértice ao encontro do seu lado oposto. Esses segmentos são: altura, mediana ou bissetriz. 

►Altura 

Altura de um triângulo é indicada por um segmento de reta que parte do vértice formando com o lado oposto um ângulo de 90°. 

Um triângulo qualquer tem três alturas, cada uma relativa a um lado. 

►Mediana 

Mediana de um triângulo é o segmento de reta que parte do vértice até o ponto médio do lado oposto. 

Um triângulo qualquer tem três medianas, cada uma relativa a um lado. 

►Bissetriz interna 

Bissetriz interna é o segmento de reta que parte de um vértice até o lado oposto, dividindo o ângulo do vértice ao meio. 

Um triângulo qualquer tem três bissetrizes internas, respectivas a cada um dos três ângulos internos.

O Triângulo Isósceles e suas Particularidades

O triângulo é um dos polígonos mais simples da Geometria, em relação ao número de lados e ângulos, porém um dos mais importantes e com maior aplicabilidade na construção de estruturas relacionadas a questões de segurança. Os triângulos são classificados quanto aos ângulos e quanto à medida de seus lados. Referente à medida dos lados, temos os triângulos:

Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes.

Equilátero: possui os lados com medidas iguais.

Isósceles: dois de seus lados possuem a mesma medida.

Enfatizaremos nosso estudo no triângulo isósceles. Observe:

Em qualquer triângulo isósceles, os ângulos da base possuem a mesma medida, isto é, são congruentes.

Os lados PQ e PR possuem a mesma medida.

Os ângulos de vértices Q e R pertencentes à base possuem a mesma medida.

No triângulo isósceles, ao traçarmos a mediana, a altura e a bissetriz em relação à base, observaremos o mesmo segmento. Dessa forma, concluímos que esses elementos pertencentes ao triângulo isósceles são coincidentes.

Em relação à base QR, o segmento PS determina a mediana, a bissetriz e a altura, pois PS une o vértice P ao ponto médio S da base QR, divide o ângulo de vértice em P em duas partes iguais e forma com o segmento da base um ângulo de 90º, respectivamente.

Triângulos "Mediana, bissetriz e altura"

Sabemos que os elementos básicos de um triângulo são: os vértices, os lados e os ângulos, mas não são os únicos. Em um triângulo identificamos outros elementos, como mediana, bissetriz e altura. 

Vértices, lados e ângulos. 

Vértices: A, B e C 

Lados: AB, BC e AC 

Ângulos: A, B e C 

Mediana 

Mediana é um segmento que divide as bases do triângulo em duas partes iguais. Dessa forma temos que mediana é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo e extremidade no ponto médio do lado oposto ao vértice. Observe a figura:

A, B e C são os vértices do ΔABC. 

M ponto médio da base BC, dessa forma BM = MC. 

AM segmento de reta com extremidades no vértice A e no ponto médio M, portanto, nesse exemplo podemos dizer que o segmento AM é a mediana do ΔABC. 

Bissetriz 

Bissetriz também é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Sendo que ela divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice. Veja o exemplo:

AS é um segmento de reta que dividiu o ângulo  em duas partes iguais. 

Altura 

Encontramos a medida da altura de um triângulo através de um segmento de reta com origem em um dos vértices e perpendicular (forma um ângulo de 90º) ao lado oposto. 

Altura no triângulo acutângulo

O segmento AH tem origem no vértice A e é perpendicular ao lado BC, portanto, AH é a altura do ΔABC. 

Altura no triângulo retângulo

Nesse triângulo, o segmento EF representa a altura do ΔEFG, pois é perpendicular ao lado FG. 

Altura no triângulo obtusângulo

A base RQ foi prolongada formando o segmento RX. Do vértice P ao ponto x formamos um segmento de reta perpendicular a RX, dessa forma, PX é a altura do ΔPQR.

Triângulos "Identidade entre"

Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos no mesmo posicionamento forem iguais e os lados correspondentes, proporcionais. Observe:

Os ângulos A, B e C são, de forma posicional, iguais aos ângulos A’, B’ e C’.

Os lados a, b e c são iguais de maneira proporcional aos ângulos a’, b’ e c’:

, em que k é uma constante de proporcionalidade.

Na determinação da identidade entre triângulos estabelecemos uma propriedade conhecida como Teorema Fundamental da Semelhança, que diz:

Se em um triângulo for traçado um segmento de reta paralelo a um dos lados e que intersecta os outros dois lados em pontos diferentes, temos que será determinado um segundo triângulo semelhante ao primeiro. Observe a figura a seguir:

Observe a semelhança entre os lados:

AB proporcional a AE

AC proporcional a AD

BC proporcional a DE

Essa relação é determinada de acordo com o Teorema de Tales, que enuncia:

Retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais.

Exemplo

De acordo com as propriedades da semelhança e com o Teorema de Tales, determinaremos o valor de x na figura a seguir:

Triângulos "Conceito e Classificação"

Uma série sobre Triângulos.

Conceitos, classificações, ângulos dos triângulos.

Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.

Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º.

Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: 

♦ A, B e C são os vértices. 

♦ Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros): , , segmentos de retas. 

♦ Os ângulos têm duas formas de representá-los: no caso do triângulo ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos: Â , , ? ou A C, B?A, BÂC.

Tipos de triângulos 

♦ O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.

Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes.

Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais. 

Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60°. 

♦ O triângulo pode ser classificado segundo seus ângulos internos.

Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.

Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.

Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°. 

Condição de existência de um triângulo

Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência:

Para construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

| b - c | < a < b + c

| a - c | < b < a + c

| a - b | < c < a + b

Exemplo:

14 – 8 < 10 < 14 + 10

14 – 10 < 8 < 14 + 10

10 – 8 < 14 < 10 + 8