Máximo Divisor Comum!

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comumdesses números. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos:

mdc (6,12) = 6

mdc (12,20) = 4

mdc (20,24) = 4

mdc (12,20,24) = 4

mdc (6,12,15) = 3

CÁLCULO DO M.D.C.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos;

2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:

36 = 2 x 2 x 3 x 3

90 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3

Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:

36 = 22 x 32

90 = 2 x 32 x5

Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor;

48 / 30 = 1 (com resto 18)

2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente;

30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo

divisor comum desses números é 1.

Exemplos:

Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.

Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

PROPRIEDADE DO M.D.C.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 3

18 = 2 x 32

30 = 2 x 3 x 5

Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados.

Grandes Homens, Gloriosas Descobertas

"Os números governam o mundo" (Platão)

A história da Matemática é repleta de estudiosos que buscavam explicações para as mais fascinantes situações. As formas da natureza eram analisadas e admiradas, crescendo a curiosidade e a incessante busca por fundamentos que traduzissem os mistérios das formas estruturais e geométricas. 

Platão atribuiu aos sólidos de sua autoria, representações aos elementos da natureza: universo, terra, água, ar e fogo. Atualmente podemos encontrar nas áreas de conhecimento estruturas moleculares que se assemelham aos sólidos de Platão. 

Euler desenvolveu uma relação que calculava o número de faces, arestas e vértices dos poliedros, denominada relação de Euler V + F – A = 2. 

Pitágoras descobriu uma importante relação que atualmente serve de base em várias demonstrações matemáticas, como em diversas aplicações na Física. 

Fibonacci estudava as relações da Matemática com a natureza e a partir desse estudo nasceu o número de ouro, uma das mais perfeitas relações matemáticas descobertas até hoje, várias formas da natureza são explicadas pelo número de ouro, pinturas clássicas obedecem à divina proporção, atualmente cirurgias plásticas são realizadas com base na relação de ouro, buscando beleza e a tão sonhada perfeição corporal. 

Tales de Mileto apresentava uma técnica de medir longas distâncias, o Teorema de Tales vangloriava por sua aplicabilidade e exatidão em cálculos até então aproximados. Hoje em dia sua teoria constitui a base de modernos equipamentos, capazes de medir distâncias inalcançáveis pelo homem, o teodolito é um desses aparelhos. 

Por volta de 285 – 194 a.C., um matemático chamado Eratóstenes criou a esfera armilar (instrumento da astronomia, aplicado na navegação marítima para fins de localização), grande conhecedor e admirador da trigonometria, ele mediu o comprimento da circunferência máxima da terra. 

A contribuição desses e de outros estudiosos fazem da Matemática uma ferramenta muito útil e importante no mundo moderno, facilitando os diversos trabalhos realizados pelo homem cotidianamente.

A Presença da Matemática na Astronomia

Só para ilustrar, caso deseje mais informações pesquise a fundo.

Estudos feitos por Johannes Kepler (1571 – 1630), baseados na teoria heliocêntrica de Nicolau Copérnico, que dizia que o sol era o centro do Universo e que todos os planetas giram em torno dele, foi decididamente introduzida após Kepler pesquisar e comprovar realmente que os planetas giram em torno do sol, descrevendo uma forma elíptica. O sol sempre estará em um dos focos da elipse.

Na elipse, a excentricidade é que determina a forma mais ou menos achatada da elipse, os valores variam de 0 a 1, quanto mais próximo de 1 mais achatada é a elipse.
A excentricidade é calculada usando a seguinte expressão:

e = 2c / 2a = c / a

Aproveitem ao máximo e se aperfeiçoem sempre.

Abraços e até a próxima.

Corridas Automobilísticas e Matemática

Os carros de corrida se diferem dos carros de passeio, em razão de algumas características, como alta velocidade, altura em relação ao solo, potência dos motores, consumo de combustível, aros das rodas e peças auxiliares, como os aerofólios dianteiro e traseiro. Algumas categorias privilegiam a estrutura do carro de passeio, ocasionando mudanças somente na parte da suspensão, motor, câmbios, rodas e pneus. 

No caso de um carro de fórmula 1, o projeto é totalmente voltado para a inovação tecnológica, pois eles são construídos no intuito de desempenhar altas velocidades. Em uma viagem, um carro de passeio desenvolve uma velocidade média em torno de 80 a 100 km/h, já um fórmula 1, desenvolve, dependendo do circuito, velocidade média entre 165km/h a 240km/h. 

A velocidade de um fórmula 1, ao final de uma reta longa, pode chegar bem próximo de 370 km/h. Esses carros conseguem chegar a altas velocidades em razão de sua aerodinâmica projetada para tal finalidade. 

Entre os diversos componentes responsáveis pela aerodinâmica de um fórmula 1, como o difusor, as placas externas, os defletores laterais e o assoalho, destacamos os aerofólios dianteiro e traseiro como os responsáveis por “segurarem” o carro na pista. Eles possuem a mesma função da asa de um avião, a única diferença é que eles trabalham de forma inversa. A asa de um avião tem a função de dar sustentabilidade e a de um fórmula 1, de criar uma força vertical denominada descendente (downforce), empurrando o carro no sentido do solo. 

Os engenheiros, com a ajuda do piloto, buscam o melhor ângulo de inclinação das asas dianteira e traseira a fim de se obter o melhor equilíbrio entre a força descendente e a resistência do ar. Nessa regulagem, os mecânicos utilizam as unidades de medidas de ângulos: grau, minutos e segundos. 

As altas velocidades na reta necessitam de menos downforce, isto é, em virtude de o carro estar em linha reta, a força descendente pode ser menor, possibilitando ao carro atingir altas velocidades. Mas nos momentos de realizar uma curva, essa força é utilizada para manter o carro na trajetória correta, sem que ele saia do traçado. Os aerofólios também diminuem a turbulência ocasionada pelo vento contrário que atinge o carro em movimento. A regulagem das asas varia de acordo com a pista, tipo de pilotagem, classe de pneus, condições climáticas, entre outras situações. Por isso, é de extrema importância que os engenheiros, mecânicos e piloto encontrem o acerto ideal para a conquista de resultados satisfatórios.

Raízes de uma equação!

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.

Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:

Substituir a incógnita por esse número.

Determinar o valor de cada membro da equação.

Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)

Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)

Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)

Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)

Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)

Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F)

Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Matemática na Medicina

A Matemática está presente em diversos ramos da sociedade, profissionais de várias áreas utilizam cálculos matemáticos para aprofundarem seus estudos a fim de comprovar e relacionar situações teóricas através de números. 

Uma situação Matemática muito usual na Medicina é o cálculo o IMC – Índice de massa corpórea, que é calculado dividindo o “peso” da pessoa pela medida da altura elevada ao quadrado. O IMC serve para verificar se uma pessoa está abaixo, acima ou no “peso” ideal. Veja a tabela a seguir: 

níveis válidos para adultos

O cálculo deverá ser feito da seguinte forma: 

Exemplo 1 

Vamos calcular o IMC de uma pessoa que tem “peso” de 90 Kg e altura igual a 1,70m. 

Essa pessoa se classifica no item: Obesidade grau I.

Exemplo 2 

Qual o IMC de uma pessoa que mede 1,84m e tem “peso” igual a 84 Kg? 

Essa pessoa está no limite do “peso” normal.

Equação modular

Módulo ou valor absoluto de um número estão associados a sua distância do ponto de origem, observe a representação a seguir: 

Percebemos que a distância entre os números é a mesma, dessa forma dizemos que o valor absoluto dos números – 4 e + 4, indicados por |– 4| e |+ 4|, será 4. 

O módulo ou valor absoluto de um número x pode ser indicado pelo próprio x, se x é positivo ou nulo, e o simétrico de x, se x é negativo. Observe a conclusão geral: 

Exemplos 

a) |+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3 

b) |10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10 

c) |x – 4| = 

x – 4, se x – 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 4 

– (x – 4), se x – 4 < 0, ou seja, x < 4 

Equações Modulares 

Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita. 

Exemplos de equações modulares: 

|x| = 7 

|x + 6| = x + 6 

|x – 3| + 4x = 7 

|x + 2| = 4 

Formas de resolução 

Exemplo 1 

|x + 2| = 4 

Condições: 

x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 

Resolução: 

x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 

x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 

S = {–6; 2} 

Exemplo 2

|4x – 8| = x + 1 

Condições: 

|4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1. 

|4x – 8| = x + 1 

4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1) 

Resolução: 

4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3 

4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7/5 

Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3} 

Exemplo 3

|x + 1| = |x – 3| 

x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível) 

x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1 

Solução: {1} 

Exemplo 4

|x² – 5x + 6| = 2 

x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais) 

x’ = 1 e x” = 4 

x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais) 

Solução: {1,4}