Olimpíadas de 2012 – Londres

Olimpíadas de Londres

As Olimpíadas de Londres 2012 começam oficialmente no dia 27 de julho, mas para os ingleses o maior evento esportivo do mundo teve início antes mesmo das Olimpíadas de Pequim em 2008. No dia 6 de junho de 2005, a capital da Inglaterra foi escolhida sede dos jogos olímpicos de 2012, ao vencer a disputa contra Madri, Moscou, Nova Iorque e Paris. Até a abertura, foram sete anos de muitas obras, treinamento e planejamento.

Embora o evento seja conhecido como as Olimpíadas de Londres, outras cidades da Grã-Bretanha também irão receber jogos, as subsedes do evento são: Manchester, Coventry, Newcastle, Glasgow e Cardiff, que receberão partidas de futebol, além de Portland, Buckinghamshire e Essek, onde está localizado o Castelo de Hadleigh. Outra peculiaridade envolvendo o futebol é que as partidas começam antes da abertura oficial devido à quantidade de jogos e o tempo para recuperação dos atletas. A seleção brasileira masculina, por exemplo, estreia dia 26 de julho contra o Egito.

Ao todo, 204 nações estarão presentes nas Olimpíadas de Londres disputando medalhas em 36 modalidades (imagem acima). Em relação aos jogos olímpicos de 2008, foram excluídos o beisebol e o softbol. Aproximadamente 16 mil atletas são esperados para os jogos, isso sem contar os treinadores, fisioterapeutas, dirigentes e demais profissionais que formam uma delegação olímpica. O Brasil estará presente em Londres com 259 atletas, menos da metade da maior delegação, a da Grã-Bretanha, com 542.

A maior obra realizada para o evento foi o Estádio Olímpico de Londres (imagem abaixo), palco da abertura e encerramento dos jogos, além das disputas do atletismo. Alguns locais de competição não precisaram ser construídos, como o ginásio The O2, que abrigará as competições de basquete e ginástica olímpica, Estádio Wembley, sede das finais do futebol, e as quadras de tênis de Wimbledon.

Em todas as edições de jogos olímpicos e paraolímpicos são escolhidos mascotes para representar a sede. No caso de Londres 2012, foram escolhidos dois mascotes, Wenlock e Mandeville, que representam gotas de aço da cidade industrial de Bolton. O nome Wenlock vem da cidade de Munch Wenlock, onde ainda no século XIX eram realizadas competições que teriam influenciado a primeira Olimpíada da Era Moderna em 1896, em Atenas. Já Mandeville vem da vila de Stoke Mandeville, que recebeu competições para portadores de deficiência em 1948, no mesmo dia da abertura das Olímpiadas de Londres daquele ano.

Destaques

Grandes nomes do esporte irão competir nas Olimpíadas de Londres. Um deles é Usain Bolt, velocista jamaicano detentor do recorde mundial dos 100 e 200 metros rasos. Na natação, teremos o americano Michel Phelps, que se conseguir mais três medalhas irá superar o recorde da ex-ginasta soviética Larisa Latynina, que conquistou 18, além, é claro, do brasileiro César Cielo, recordista mundial dos 50 e 100m livres em piscina olímpica.

Nos esportes coletivos será legal acompanhar a seleção masculina de basquete dos Estados Unidos, considerada uma das melhores de todos os tempos, e a seleção brasileira masculina de futebol, que busca sua primeira medalha de ouro. Outros esportes exclusivamente coletivos presentes nas Olimpíadas são o vôlei, handebol e hóquei de grama.

Os jogos Olímpicos de Londres encerrarão no dia 12 de agosto de 2012. Próxima parada, Rio 2016!

Curiosidade.

Quantas casas decimais do número Pi são conhecidas?

São conhecidas 51539600000 casas decimais de Pi, calculadas por Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tokio em 1997. Em 21/8/1998 foi calculada pelo projeto Pihex a 5000000000000a. casa binária de Pi.

Resolução de uma equação!

Resolução de uma equação

Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos doconjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

Sendo , resolva a equação .

MMC (4, 6) = 12

-9x = 10 => Multiplicador por (-1)

9x = -10

Como , então .

Sendo , resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 

2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3

3x = -1

Como , então

Equações impossíveis e identidades

Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1).

Observe, agora, a sua resolução:

2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1

12x - 8 = 12x - 3 

12x - 12x = - 3 + 8

0 . x = 5

Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.

Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e

Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.

Observe a sua resolução:

-3x + 3x = 2 - 10 + 8

0 . x = 0 

Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possuiinfinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.

A MATEMÁTICA E AS CONSTRUÇÕES

A evolução na construção de estruturas cada vez mais complexas e de elevado risco (centrais nucleares, barragens, grandes pontes e reservatórios, etc.), e a maior necessidade de economia e segurança, tomam importante o desenvolvimento de programas de cálculo automático que permitam uma modelação eficiente da geometria, do comportamento e da resposta dessas estruturas. Neste contexto, os modelos de análise dinâmica de estruturas tendo em consideração o comportamento não-­linear, são necessariamente imprescindíveis.
Efectivamente, a análise dinâmica toma-se essencial para estruturas sujeitas a acções dependentes do tempo, sendo de considerável importância prática o estudo em regime transitório, quando as acções são de curta duração (impactos e explosões), de tipo harmónico (acções cíclicas), ou de carácter determinístico (ventos e sismos traduzidos por acelerogramas), pois que nestes problemas a parcela transitória da resposta da estrutura é importante em relação á parcela estacionária da mesma, sendo bastante provável que naquelas circunstâncias, as estruturas apresentem a resposta mais próxima do colapso, permitindo assim predizer o comportamento nas condições mais desfavoráveis.

Quanto à análise não-­linear, toma-se necessária por motivos de economia e de segurança, dado que a análise supondo comportamento linear origina normalmente grandes reservas de resistência, além de não modelar satisfatoriamente o comportamento do material e da estrutura, no decurso da sua deformação ao longo do tempo, pois como é evidente, dado o carácter excepcional de muitas das acções dinâmicas, torna-se normalmente inevitável que na resposta da estrutura surjam deformações no domínio plástico. A grande divulgação e desenvolvimento nos últimos anos do método dos elementos finitos, a sua versatilidade na modelação de geometrias complexas e a simplicidade de implementação em programas de cálculo automático permitindo explorar as grandes vantagens dos computadores (memória e rapidez), explicam a sua grande utilização em análise estrutural, tendo em muitos casos de problemas de análise dinâmica ou não-­linear, permitido a obtenção de maior precisão que outros métodos aproximados, o que explica a sua escolha para o tipo de análise em questão. 

O facto de cada tipo de estrutura ter características de geometria e de comportamento diversos, implica a utilização de vários tipos de elementos finitos e de diferentes relações constitutivas do comportamento material.
O problema da análise dinâmica de estruturas, normalmente resume-se á intenção do conhecimento dos valores de deslocamentos e tensões, ao longo do tempo, em pontos de interesse da estrutura, com vista ao seu dimensionamento, de modo a resistir á acção dinâmica em causa.
A solução do problema é possível através da resolução da equação que traduz, em cada instante, o equilíbrio das diversas forças desenvolvidas no movimento do ponto da estrutura em questão, quando sujeita a carregamento dinâmico. As soluções analíticas exactas dessa equação diferencial de segunda ordem, são apenas possíveis para problemas com geometrias regulares, condições de fronteira e de carregamento simples e com comportamento linear, de modo que há necessidade de utilizar técnicas numéricas para a maioria dos problemas.
Os procedimentos a utilizar para a obtenção da solução numérica da equação de equilíbrio, podem ser divididos em dois grupos:
- O método da sobreposição modal, em que a resposta dinâmica é obtida a partir da sobreposição das respostas separadas de cada modo de vibração da estrutura.
- O método de integração directa, onde é utilizado um procedimento numérico incremental para as soluções no tempo. É necessário admitir em cada incremento, as variações de aceleração, velocidade e deslocamento, originando-se assim vários métodos de integração, com diferentes características de convergência, estabilidade e eficiência.
Esses métodos podem ser considerados como explícitos ou implícitos, tendo surgido também vários métodos mistos.

"Sem a Matemática não seria possível existir a Astronomia; sem os recursos prodigiosos da Astronomia, seria impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade."

Uma bela frase que usamos quando me formei na faculdade: "A matemática é o alfabeto através do qual Deus escreveu o mundo".

A descoberta teórica do PI

Quem pela primeira vez provou rigorosamente a existência do PI?

Bem, essa pergunta talvez nunca possa ser respondida. Que eu saiba, a mais antiga referência que temos de uma demonstração da existência do PI fala de Hippokrates de Chios, c. 430 AC. Trata-se de uma nota de Simplicius, filósofo grego que viveu quase mil anos depois de Hippokrates. Simplicius, no seu Comentário sobre o livro Physis, de Aristóteles, menciona que Eudemos na sua História da Geometria ( escrita c. 330 AC e, hoje, há muitos séculos totalmente perdida ) diz que Hippokrates demonstrou que a razão entre as áreas de círculos é igual à razão entre os quadrados dos respectivos diâmetros. 

Por outro lado, o mais antigo documento ainda existente e que traz demonstração da existência do PI é o livro Elementos de Euclides, escrito em c. 300 AC. Na proposição 2 do Livro XII dos Elementos, Euclides enuncia e prova que círculos estão um para o outro assim como os quadrados de seus diâmetros, que é o resultado atribuído acima a Hippokrates. Ademais, na proposição 18 desse Livro XII, Euclides enuncia e prova que esferas estão uma para a outra assim como a razão tríplice de seus diâmetros. 

Euclides encerrou o Livro XII de seus Elementos sem tratar da questão da área da esfera. ( Coube a Archimedes c. 250 AC mostrar que a razão entre as áreas de esferas é igual à razão entre os quadrados de seus diâmetros ). Mas o mais curioso é que em nenhum dos treze livros dos Elementos Euclides fala no PI da circunferência. 

Coube a Archimedes a tarefa de ir mais longe do que Euclides demonstrando a existência dos PI's que esse não abordou e estabelecendo resultados que permitem facilmente relacionar os quatro tipos de PI: o PI das circunferências, o PI de áreas de círculos, o PI de áreas de esferas e o PI de volumes de esferas.

Para levar a cabo esse Projeto PI, Archimedes precisou completar o conhecimento exposto nos Elementos de Euclides, descobrindo e demonstrando os seguintes três teoremas:

• a área de cada círculo é igual a de um triângulo reto cujos catetos valem o raio e a circunferência do círculo
  ( Archimedes: Sobre a Medida do Círculo, proposição 1 )
  
  
• a área de cada esfera é igual a quatro vezes a área de seu círculo máximo
  ( Archimedes: Sobre a Esfera e o Cilindro, Livro I, proposição 33 )
  
  
• a razão entre o volume da esfera e o do cilindro que a circunscreve é 2:3
  ( em verdade, Archimedes in Sobre a Esfera e o Cilindro, Livro I, proposição 35, trabalha com um cilindro maior, de mesma altura e mesmo eixo que o cilindro circunscrevendo a esfera, MAS com o dobro do diâmetro; essa proposição 35 relaciona o volume da esfera, o volume do tal cilindro maior e o volume do cone inscrito no cilindro maior:
  VOL ( esfera ) + VOL ( cone ) = 1/2 VOL ( cil maior ) 
  Ora, no Livro XII, prop. 10, Euclides provou que VOL ( cone ) = 1/3 VOL ( cil maior ), de modo que a relação acima mostra que:
  VOL ( esfera ) = 1/2 VOL ( cil maior ) - 1/3 VOL ( cil maior ) = 1/6 VOL ( cil maior ) = 2/3 VOL ( cil circunscrito ); 
  Archimedes acabou realmente usando a razão 2:3 e, aliás, sentia-se tão orgulhoso desse resultado que pediu que fosse gravada uma figura do mesmo em sua lápide )

PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' tambem um dos poucos objetos matematicos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.

Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para cálcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiôes em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.

Como uma consequência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:

• Lennart Berggren (ed) - Pi: A Source Book
  Springer Verlag, 2nd ed., NYork, 2000
  ( nada menos do que 736 paginas! )
• J. P. Delahaye - Le fascinant nombre Pi
  Editions Belin / Pour La Science, Paris, 1997.
• J. Arndt - PI, unleashed.
  Springer Verlag, NYork, 2000.

PI está em todos os lugares
O rolar das ondas numa praia, o trajeto aparente diário das estrelas no céu terrestre, o espalhamento de uma colônia de cogumelos, o movimento das engrenagens e rolamentos, a propagação dos campos eletromagnéticos e um sem número de fenômenos e objetos, do mundo natural e da Matemática, estão associados às idéias de simetria circular e esférica. Ora, o estudo e uso de círculos e esferas, de um modo quase que inexorável, acaba produzindo o PI. Daí a ubiquidade desse número. Ele é uma das constantes universais da Matemática.
É importante chamarmos a atenção para o fato que também são frequentes as ocorrências do PI em estudos onde aparentemente, principalmente para uma pessoa de pouca formação matemática, não estariam envolvidas simetrias circulares: na normalização da distribuição normal de probabilidades, na distribuição assintótica dos números primos, na construção de números primos próximos a inteiros dados ( na chamada constante de Ramanujan ), e mil e uma outras situações.

Mais desafios!!!

6º DESAFIO *

Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?

RESPOSTA 6

7º DESAFIO **

A Maria e o Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos por vitória e é retirado um ponto por derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, e a Maria no final ficou com 10 pontos, quantas partidas eles disputaram?

RESPOSTA 7

8º DESAFIO ***

Para numerar as páginas de um livro, consecutivamente desde a primeira página, são usados 852 algarismos. Quantas páginas tem o livro?

RESPOSTA 8

9º DESAFIO**

Um relógio digital marca 19:57:33. Qual o número mínimo de segundos que devem passar até que se alterem todos os algarismos?

RESPOSTA 9

10º DESAFIO **

Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg. Eles pesam 60, 65 e 80 kg. Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco?

RESPOSTA 10

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação!

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.

Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é oconjunto verdade dessa mesma equação.

Observe este outro exemplo:

Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.

Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações:

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais.

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.