Mais desafios!!!

6º DESAFIO *

Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?

RESPOSTA 6

7º DESAFIO **

A Maria e o Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos por vitória e é retirado um ponto por derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, e a Maria no final ficou com 10 pontos, quantas partidas eles disputaram?

RESPOSTA 7

8º DESAFIO ***

Para numerar as páginas de um livro, consecutivamente desde a primeira página, são usados 852 algarismos. Quantas páginas tem o livro?

RESPOSTA 8

9º DESAFIO**

Um relógio digital marca 19:57:33. Qual o número mínimo de segundos que devem passar até que se alterem todos os algarismos?

RESPOSTA 9

10º DESAFIO **

Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg. Eles pesam 60, 65 e 80 kg. Como devem proceder para atravessar o rio, sem afundar o barco?

RESPOSTA 10

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação!

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.

Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é oconjunto verdade dessa mesma equação.

Observe este outro exemplo:

Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25

O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.

Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}.

Daí concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-se por V.

Observações:

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais.

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

Equações do 1º Grau!!

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3 (Não é igualdade)

5 ≠ -2 (não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos: 

X = _  _b_

             a

Considera a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendoa e b números racionais, com a diferente de zero. 

Curiosidade: o número 2 e seus provérbios!!!

Existem diversos provérbios que envolvem o número dois. Exemplos:

"Mais vale um pássaro do que dois voando".

"Homem avisado vale por dois".

"Matar dois coelhos numa cajadada só".

"Mais vale um toma do que dois te darei".

"Dois proveitos não cabem num saco só".

"Entre os dois venha o diabo e escolha".

"Criados e bois, um ano até dois".

"Custa mais sustentar um vício do que educar dois filhos".

"Duas mudanças equivalem a um incêndio".

"Duas vezes perdido o que ao ingrato é concebido".

"Mais vale um hoje do que dois amanhã".

"Mais vale um pé do que duas muletas".

"Mais valem duas pernas do que três andas".

"Não há dois altos sem um baixo no meio".

"Dois pilotos fazem um barco ir ao fundo".

"Dois sacos vazios não se põe em pé".

"Dois sentidos não assam milho".

"Dois sobre um asno, sinal de bom amigo".

"Dois pesos e duas medidas".

Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24 num produto:

24 = 4 x 6

24 = 2 x 2 x 6

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.

Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a fatoração do número 630. 

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.

630 = 2 x 32 x 5 x 7.

Determinação dos divisores de um número!

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.

Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatores primos;

2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número; 

3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo; 

4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. 

Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Números Primos!

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:

1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.

2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.

3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações:

=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.

=> 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.

Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:

=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,

=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

não é par, portanto não é divisível por 2;

1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;

não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

não é par, portanto não é divisível por 2;

1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;

não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).

por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.