O significado de uma fração!

Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de ?

Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos umaou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.

FRAÇÕES!!!

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos:

de fração;

a de numerador;

b de denominador.

Se a é múltiplo de b, então é um número natural.

Veja um exemplo:

A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.

Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

Matemática Financeira 5ª Parte!

FLUXO DE CAIXA

O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:

Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é ovalor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. 

VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO

Na fórmula M = P . (1 + i)ⁿ , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value). 

    Então essa fórmula pode ser escrita como 

    FV = PV (1 + i) ⁿ 

    Isolando PV na fórmula temos:

    PV = FV / (1+i)ⁿ

Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.

Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.

    Exemplo:

    Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$1.500,00 a 2% ao mês?
    Solução:

         FV = 1500 . (1 + 0,02)¹² = R$ 1.902,36

Matemática Financeira 3ª Parte!

JUROS COMPOSTOS

    O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

    Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos:
    1º mês: M =P.(1 + i)
    2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
    3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
    Simplificando, obtemos a fórmula:
  

M = P . (1 +  i)n

    Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
    Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
  

J = M - P

    Exemplo:
   Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
  (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
   Resolução:
   P = R$6.000,00
    t = 1 ano = 12 meses
    i = 3,5 % a.m. = 0,035
    M = ?
  
   Usando a fórmula M=P.(1+i)ⁿ, obtemos:
   M  =  6000.(1+0,035)¹²  =  6000. (1,035)¹²
    Fazendo  x = 1,035¹² e aplicando logaritmos, encontramos:
   log x = log 1,035¹²    =>   log x = 12 log 1,035    =>   log x = 0,1788    =>   x = 1,509
   Então  M = 6000.1,509 = 9054.
    Portanto o montante é R$9.054,00

Indicações de livros de Matemática Financeira!

Fizemos uma seleção dos melhores livros didáticos de cada disciplina para ajudar em seus estudos. Escolha uma das categorias a seguir para ver a lista de livros que recomendamos. Alguns livros fazem parte de uma parceria com a Loja Submarino, que realiza as vendas.

	Matemática Financeira: Objetiva e Aplicada Matemática Financeira: Objetiva e Aplicada, chega à sua 7ª edição. Com novo projeto gráfico, ela foi totalmente revista e atualizada em razão das...
	Matemática Financeira: com + de 600 Exercícios Resolvidos e Propostos Esta edição revista e atualizada diferencia-se dos livros convencionais por reunir uma série de características positivas, destacando-se entre elas sua operacionalidade e seu conseqüente teor...
	Matemática Financeira com HP 12C e Excel Com uma didática singular, este livro traz noções de matemática financeira baseadas em uma metodologia cuidadosamente focada no auto-estudo. Para tanto, ele apresenta formas de resolução de...
	Matemática Financeira com Ênfase em Produtos Bancários Este livro destina-se ao profissional ou estudante da área financeira que busca informações técnicas atualizadas sobre a matemática financeira e sua utilização na solução dos...
	Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP-12C, Excel Este livro tem como preocupação principal abordar de modo bastante claro os conceitos da matemática financeira e suas aplicações, bem como mostrar as várias soluções para os exemplos fornecidos...

Matemática Financeira 4ª Parte!

Relação entre juros e progressões

No regime de juros simples:
    M( n ) = P + n r P

Nos juros compostos:
    M( n ) = P . ( 1 + r ) ⁿ    Portanto:

• num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética
• num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica

TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas i₁ e i₂ são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final.

• Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual i_a .
• O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i _a )
• Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal i_m .
• O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + i_m)¹² .

    Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’.

    Portanto, P(1 + i_a) = P(1 + i_m)¹²
    Daí concluímos que 1 + i_a = (1 + i_m)¹²
    Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida.
    Exemplos:
    1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre?
    Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + i_a = (1 + i_s)²
    1 + i_a = 1,08²
    i_a = 0,1664 = 16,64% a.a.
   
    2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
    1 + i_a = (1 + i_m)¹²
    1 + i_a = (1,005)¹²
    i_a = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS NOMINAIS

A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

- 340% ao semestre com capitalização mensal.- 1150% ao ano com capitalização mensal.
- 300% ao ano com capitalização trimestral.    Exemplo:
     Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva:
    15/12 = 1,25                    1,25¹² = 1,1608

TAXAS EFETIVAS

A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:- 140% ao mês com capitalização mensal.- 250% ao semestre com capitalização semestral.

- 1250% ao ano com capitalização anual.

    Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

Curiosidade matemática!

O QUE SÃO NÚMEROS AMIGÁVEIS???

Números amigáveis são pares de números onde um deles é a soma dos divisores do outro.

Por exemplo, os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 284.

Por outro lado, os divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles é 220. Fermat descobriu também o par 17.296 e 18.416. Descartes descobriu o par 9.363.584 e 9.437.056.