A Presença da Matemática na Astronomia

Só para ilustrar, caso deseje mais informações pesquise a fundo.

Estudos feitos por Johannes Kepler (1571 – 1630), baseados na teoria heliocêntrica de Nicolau Copérnico, que dizia que o sol era o centro do Universo e que todos os planetas giram em torno dele, foi decididamente introduzida após Kepler pesquisar e comprovar realmente que os planetas giram em torno do sol, descrevendo uma forma elíptica. O sol sempre estará em um dos focos da elipse.

Na elipse, a excentricidade é que determina a forma mais ou menos achatada da elipse, os valores variam de 0 a 1, quanto mais próximo de 1 mais achatada é a elipse.
A excentricidade é calculada usando a seguinte expressão:

e = 2c / 2a = c / a

Aproveitem ao máximo e se aperfeiçoem sempre.

Abraços e até a próxima.

Corridas Automobilísticas e Matemática

Os carros de corrida se diferem dos carros de passeio, em razão de algumas características, como alta velocidade, altura em relação ao solo, potência dos motores, consumo de combustível, aros das rodas e peças auxiliares, como os aerofólios dianteiro e traseiro. Algumas categorias privilegiam a estrutura do carro de passeio, ocasionando mudanças somente na parte da suspensão, motor, câmbios, rodas e pneus. 

No caso de um carro de fórmula 1, o projeto é totalmente voltado para a inovação tecnológica, pois eles são construídos no intuito de desempenhar altas velocidades. Em uma viagem, um carro de passeio desenvolve uma velocidade média em torno de 80 a 100 km/h, já um fórmula 1, desenvolve, dependendo do circuito, velocidade média entre 165km/h a 240km/h. 

A velocidade de um fórmula 1, ao final de uma reta longa, pode chegar bem próximo de 370 km/h. Esses carros conseguem chegar a altas velocidades em razão de sua aerodinâmica projetada para tal finalidade. 

Entre os diversos componentes responsáveis pela aerodinâmica de um fórmula 1, como o difusor, as placas externas, os defletores laterais e o assoalho, destacamos os aerofólios dianteiro e traseiro como os responsáveis por “segurarem” o carro na pista. Eles possuem a mesma função da asa de um avião, a única diferença é que eles trabalham de forma inversa. A asa de um avião tem a função de dar sustentabilidade e a de um fórmula 1, de criar uma força vertical denominada descendente (downforce), empurrando o carro no sentido do solo. 

Os engenheiros, com a ajuda do piloto, buscam o melhor ângulo de inclinação das asas dianteira e traseira a fim de se obter o melhor equilíbrio entre a força descendente e a resistência do ar. Nessa regulagem, os mecânicos utilizam as unidades de medidas de ângulos: grau, minutos e segundos. 

As altas velocidades na reta necessitam de menos downforce, isto é, em virtude de o carro estar em linha reta, a força descendente pode ser menor, possibilitando ao carro atingir altas velocidades. Mas nos momentos de realizar uma curva, essa força é utilizada para manter o carro na trajetória correta, sem que ele saia do traçado. Os aerofólios também diminuem a turbulência ocasionada pelo vento contrário que atinge o carro em movimento. A regulagem das asas varia de acordo com a pista, tipo de pilotagem, classe de pneus, condições climáticas, entre outras situações. Por isso, é de extrema importância que os engenheiros, mecânicos e piloto encontrem o acerto ideal para a conquista de resultados satisfatórios.

Raízes de uma equação!

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.

Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:

Substituir a incógnita por esse número.

Determinar o valor de cada membro da equação.

Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)

Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)

Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)

Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.

Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)

Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)

Para x = 1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 1 - 5 = 1 => -3 = 1. (F)

Para x = 2 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 2 - 5 = 1 => -1 = 1. (F)

A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

Matemática na Medicina

A Matemática está presente em diversos ramos da sociedade, profissionais de várias áreas utilizam cálculos matemáticos para aprofundarem seus estudos a fim de comprovar e relacionar situações teóricas através de números. 

Uma situação Matemática muito usual na Medicina é o cálculo o IMC – Índice de massa corpórea, que é calculado dividindo o “peso” da pessoa pela medida da altura elevada ao quadrado. O IMC serve para verificar se uma pessoa está abaixo, acima ou no “peso” ideal. Veja a tabela a seguir: 

níveis válidos para adultos

O cálculo deverá ser feito da seguinte forma: 

Exemplo 1 

Vamos calcular o IMC de uma pessoa que tem “peso” de 90 Kg e altura igual a 1,70m. 

Essa pessoa se classifica no item: Obesidade grau I.

Exemplo 2 

Qual o IMC de uma pessoa que mede 1,84m e tem “peso” igual a 84 Kg? 

Essa pessoa está no limite do “peso” normal.

Equação modular

Módulo ou valor absoluto de um número estão associados a sua distância do ponto de origem, observe a representação a seguir: 

Percebemos que a distância entre os números é a mesma, dessa forma dizemos que o valor absoluto dos números – 4 e + 4, indicados por |– 4| e |+ 4|, será 4. 

O módulo ou valor absoluto de um número x pode ser indicado pelo próprio x, se x é positivo ou nulo, e o simétrico de x, se x é negativo. Observe a conclusão geral: 

Exemplos 

a) |+3| = 3 e |–3| = –(–3) = 3 

b) |10| = 10 e |–10| = –(–10) = 10 

c) |x – 4| = 

x – 4, se x – 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 4 

– (x – 4), se x – 4 < 0, ou seja, x < 4 

Equações Modulares 

Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita. 

Exemplos de equações modulares: 

|x| = 7 

|x + 6| = x + 6 

|x – 3| + 4x = 7 

|x + 2| = 4 

Formas de resolução 

Exemplo 1 

|x + 2| = 4 

Condições: 

x + 2 = 4 ou x + 2 = – 4 

Resolução: 

x + 2 = 4 → x = 4 – 2 → x = 2 

x + 2 = – 4 → x = – 4 – 2 → x = – 6 

S = {–6; 2} 

Exemplo 2

|4x – 8| = x + 1 

Condições: 

|4x – 8| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 ≥ 0, x ≥ –1. 

|4x – 8| = x + 1 

4x – 8 = x + 1 ou 4x – 8 = – (x + 1) 

Resolução: 

4x – 8 = x + 1 → 4x – x = 1 + 8 → 3x = 9 → x = 9/3 → x = 3 

4x – 8 = – (x + 1) → 4x – 8 = – x – 1 → 4x + x = – 1 + 8 → 5x = 7 → x = 7/5 

Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x ≥ – 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3} 

Exemplo 3

|x + 1| = |x – 3| 

x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível) 

x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1 

Solução: {1} 

Exemplo 4

|x² – 5x + 6| = 2 

x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais) 

x’ = 1 e x” = 4 

x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais) 

Solução: {1,4}

Critérios de Divisibilidade

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Para que a divisão entre os números resulte em partes inteiramente iguais, necessitamos ter conhecimento sobre algumas regras de divisibilidade. 

Regras de Divisibilidade 

Divisibilidade por 1 

Todo número é divisível por 1. 

Divisibilidade por 2 

Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8. 

12:2 = 6 

18:2 = 9 

102:2 = 51 

1024:2 = 512 

10256:2 = 5128 

Divisibilidade por 3 

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Exemplo: 

66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12 

60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6 

81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9 

558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18 

Divisibilidade por 4 

Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4. 

288 : 4 = 72, 88 é par e a sua metade será par. 

144 : 4 = 36, 44 é par e sua metade será par. 

100 : 4 = 25, pois possui na última e penúltima casa o algarismo 0. 

Divisibilidade por 5 

Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5. 

10:5 = 2 

25:5 = 5 

75:5 = 15 

200:5 = 40 

Divisibilidade por 6 

Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante. 

42 : 6 = 7, pois 42 : 2 = 21 e 42 : 3 = 14 

54 : 6 = 9, pois 54 : 2 = 27 e 54 : 3 = 18 

132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44 

570: 6 = 95, pois 570 : 2 = 285 e 570 : 3 = 190 

Divisibilidade por 7 

Duplicar o algarismo das unidades e subtrair do resto do número. Se o resultado for divisível por 7, o número é divisível por 7. Exemplo: 

203 : 7 = 29, pois 2*3 = 6 e 20 – 6 = 14 

294 : 7 = 42, pois 2*4 = 8 e 29 – 8 = 21 

840 : 7 = 120, pois 2*0 = 0 e 84 – 0 = 84 

Divisibilidade por 8 

Todo número será divisível por 8 quando terminar em 000, ou os últimos três números forem divisíveis por 8. Exemplo: 

1000 : 8 = 125, pois termina em 000 

1208 : 8 = 151, pois os três últimos são divisíveis por 8 

Divisibilidade por 9 

É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo: 

90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9 

1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9 

4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27 

Divisibilidade por 10 

Todo número terminado em 0 será divisível por 10 

100:10 = 10 

50:10 = 5 

10:10 = 1 

2000:10 = 200 

Divisibilidade por 11 

Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11. 

1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11 

2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22 

7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66 

Divisibilidade por 12 

São os números divisíveis por 3 e 4. 

276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69 

672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168

Triângulo "Segmentos de retas"

O triângulo é a única figura geométrica que não tem diagonal, mas tem segmentos de retas que parte de um vértice ao encontro do seu lado oposto. Esses segmentos são: altura, mediana ou bissetriz. 

►Altura 

Altura de um triângulo é indicada por um segmento de reta que parte do vértice formando com o lado oposto um ângulo de 90°. 

Um triângulo qualquer tem três alturas, cada uma relativa a um lado. 

►Mediana 

Mediana de um triângulo é o segmento de reta que parte do vértice até o ponto médio do lado oposto. 

Um triângulo qualquer tem três medianas, cada uma relativa a um lado. 

►Bissetriz interna 

Bissetriz interna é o segmento de reta que parte de um vértice até o lado oposto, dividindo o ângulo do vértice ao meio. 

Um triângulo qualquer tem três bissetrizes internas, respectivas a cada um dos três ângulos internos.