Áreas e Tronco de Pirâmides!

Troncos

          Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.

          Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide

      Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

• as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;
• as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

Áreas

      Temos as seguintes áreas:

a) área lateral (A_L): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais

b) área total (A_T): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (A_b) e maior (A_B)

AT =AL+AB+Ab

_Volume

     O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

        Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:

Secção paralela à base de uma pirâmide!!!

        Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

      Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

    Assim, temos:

•  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

• A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

• Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

Áreas

Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

a) área lateral ( A_L): reunião das áreas das faces laterais

b) área da base ( A_B): área do polígono convexo ( base da pirâmide)

c) área total (A_T): união da área lateral com a área da base

A_T = A_L +A_B

        Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

Volume

        O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:

PIRÂMIDES!!!

Amigos inciamos agora com as pirâmides. Vamos melhorar mais nosso conhecimento.

Pirâmides

Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .

Elementos da pirâmide

Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

base: o polígono convexo R
arestas da base: os lados do polígono
arestas laterais: os segmentos
faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
altura: distância h do ponto V ao plano

Classificação

Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

Veja:


Observações:
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).


2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

Não tão difícil, mas precisa de atenção para poder aprender e conhecer as maravilhas da matemática.

Area e Volume do Cone!!!

Áreas 

Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento : 

Assim, temos de considerar as seguintes áreas: 

a) área lateral (AL): área do setor circular 

b) área da base (AB):área do circulo do raio R 

c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base 

Volume 

Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura: 

d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e 

S=área da superfície

Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: 

Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h: 

O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação. Logo: 

GEOMETRIA ESPACIAL "CILINDRO E CONE"

Cilindro eqüilátero 

Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero. 

Cone circular 

Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos . 

Elementos do cone circular: 

Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos: 

altura: distância h do vértice V ao plano

geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência 

raio da base: raio R do círculo 

eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone 

Cone reto 

Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. 

Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: 

g2 = h2 + R2

Secção meridiana 

A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana. 

Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero: 

Dessa forma vocês podem ter mais algumas informações sobre a geometria e se aperfeiçoar  a cada dia. Aproveitem!!!