GEOMETRIA ESPACIAL "VOLUME DO PRISMA"

Amigo leitor segue pra seu conhecimento aumentar cada dia mais, volume do Prisma...

Generalização do volume de um prisma

      Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.

      Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano, paralelo a , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

        Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = A_Bh.

       Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:

Vprisma = ABh

Cilindro
      Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,, um círculo R contido em e uma reta r que intercepta , mas não R:

      Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :

      Assim, temos:

      Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.

   
Elementos do cilindro

      Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases: os círculos de centro O e O'e raios r
• altura: a distância h entre os planos
• geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r.
  
  
  Aproveitem para aperfeiçoar sempre mais...!!!

ELEMENTOS DE GEOMETRIA ESPACIAL "PRISMA"

      Nesta postagem vamos ver um pouco sobre o Prisma e nas postagens seguintes veremos de outras figuras geométricas bem como mais informações sobre o prisma, como áreas e volumes.

Elementos do prisma

      Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases:as regiões poligonais R e S
• altura:a distância h entre os planos
• arestas das bases:os lados ( dos polígonos)
• arestas laterais:os segmentos
• faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Classificação

      Um prisma pode ser:

• reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

prisma reto	prisma oblíquo
Chamamos de prisma regular todo  prisma reto cujas bases são polígonos regulares:
prisma regular triangular	prisma regular hexagonal

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Secção

      Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.

        Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).

Áreas

      Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (A_F ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral ( A_L ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

      No prisma regular, temos:

A_L = n . A_F (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (A_B): área de um dos polígonos das bases;

d) área total ( A_T): soma da área lateral com a área das bases

A_T = A_L + 2A_B

      Vejamos um exemplo.

      Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

     

Paralelepípedo

      Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

a) paralelepípedo oblíquo

b) paralelepípedo reto

         Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA PLANA

A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.

Algumas definições

Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono

Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.

Polígono	No. de lados	Polígono	No. de lados
Triângulo	3	Quadrilátero	4
Pentágono	5	Hexágono	6
Heptágono	7	Octógono	8
Eneágono	9	Decágono	10
Undecágono	11	Dodecágono	12

Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:

1. Os lados opostos são congruentes;
2. Os ângulos opostos são congruentes;
3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180^o;
4. As diagonais cortam-se ao meio.

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90^o.

Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.

Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.

Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.

Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.

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IMPORTANCIA DA MATEMATICA

Qual a importância dela na sociedade ?

Como sabemos, a parte mais simples e conhecida da matemática é a aritmética (operações com números). Imagine só se os números simplesmente não existissem. Parece-me um pouco complicado, não ? Temos que admitir que estamos cercados por números ! A qualquer lugar que você vá aparecerá a necessidade de quantificação em outras palavras : números. Esta é talvez a principal teoria matemática, mas não é a única, pois existem muitas outras as quais são também aplicáveis a sociedade.

O uso diário da aritmética e a apresentação de informações através de gráficos, são um lugar comum no nosso dia a dia. Estes são os aspectos elementares da matemática.

A matemática avançada é amplamente usada mas, freqüentemente, de um modo invisível e inesperado. A matemática dos códigos de correção de erros é aplicada a aparelhos CD e a computadores. As fotos estonteantes de longínquos planetas enviadas pelo Voyager II não poderiam ter sua clareza e sua qualidade sem esta matemática. A jornada do Voyager aos planetas não poderia ter sido calculada sem a matemática das equações diferenciais.

Sempre que se diz que avanços são feitos com super-computadores, tem que ter uma teoria matemática que instrui o computador sobre o que deve ser feito, desse modo permitindo a ele que aplique sua capacidade de rapidez e exatidão. 

Ao tratar abrangentemente da matemática, então tratamos de algo extremamente amplo e útil nas mais variadas áreas do conhecimento, principalmente quando tratamos das engenharias.

Assim tornamos a matemática um dos melhores instrumentos da atualidade, onde podemos fazer alguns destaques principais com relação a tais fatores, onde a construção civil foi um dos ramos que mais se tornam completos e dinâmicos com relação a matemática, onde enfim quando falamos em atualização em relação a tecnologia e construções e exploração, então com certeza a matemática se apresenta muito presente, sendo um excelente ramo para quem possui afinidade com a mesma, assim uma das matérias em maior destaque da atualidade. 

O que é Matemática ?

Realmente é muito difícil definir em poucas palavras o que é matemática e toda definição não conseguirá expressar todo o significado da matemática; porém vou tentar dar uma noção : A priori a palavra matemática deriva da palavra grega "matemathike" que significa "ensinamentos". A matemática é uma ciência formal (seus axiomas são independentes dos axiomas das outras ciências) que se baseia em : axiomas, teoremas, corolários, lemas, postulados e proposições para chegar a conclusões teóricas e práticas. Ela também pode ser vista como um sistema formal de pensamento para reconhecer, classificar e explorar padrões. Mas o que é um padrão ? Vou dar-lhes exemplos para que este conceito fique mais fácil : 1) As listas dos tigres e as manchas das hienas mostram uma certa regularidade matemática, 2)O número de pétalas das flores mostra-nos um tipo de padrão curioso, pois na grande maioria delas o número de pétalas ocorre nesta estranha sequência : 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89. Observe que 3 + 5 = 8 , 5 + 8 = 13 e assim por diante. Realmente temos que admitir que há muita beleza na natureza, para concluir isso não é necessário saber muita matemática. Porém há muita beleza também no método matemático, o qual a partir de indícios, deduzem-se regras, mas é um tipo diferente de beleza que se aplica às idéias e não às coisas.Podemos além destas duas definições dar uma mais técnica : A matemática como uma expressão da mente humana, ativará os reflexos, o contemplamento da razão e o desejo pela perfeição estética. É também chamada por muitos de linguagem universal (é uma linguagem porque é formada por signos linguísticos que passam idéias e significados). Ela pode ser dividida em matemática pura e aplicada e seus elementos básicos são a lógica e a intuição, análise e construção, generalização e individualização.

É o melhor modo conhecido de "racionalizar" a Natureza. Através dela, conseguimos resolver um número bem grande de problemas de diversas áreas da Ciência. Vou dar-lhes alguns exemplos : 1)Qual será o caminho que a luz faz ao refletir numa superfície qualquer que minimizam seu tempo ? 2)Qual a curva que liga dois pontos fixos no menor instante de tempo ? 3)Por que quando apertamos os pólos de um ovo não conseguimos quebrálos ? Ficou curioso ? Então me mande um e-mail que terei prazer em esclarecê-los ! Além disto, desenvolve no matemático ou estudante de matemática uma enorme capacidade de abstração.

Matemática e Lógica ?

   
A lógica e a matemática estão intimamente ligadas, entretanto podemos separá-las arbitrariamente. A matemática agrupada com a lógica formam as chamadas ciências formais em oposição as ciências reais. O método fundamental de codificação e da sistematização das disciplinas dedutivas (lógico-matemático) é o método axiomático.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

Realizar registros que ajudem a chegar ao resultado de um problema matemático é um aprendizado importante para as crianças das séries iniciais.

Esse conteúdo de ensino pertence ao bloco Tratamento da informação, uma área do conhecimento na Matemática que se articula com todos os outros campos da disciplina no Ensino Fundamental I – Números e Operações, Espaço e Forma e Grandezas e Medidas –, mas que tem especificidades a serem desenvolvidas desde cedo. 

Trabalhar a produção de registros e a sua interpretação depende, antes de mais nada, de que os pequenos compreendam a sua utilidade. Para isso, é preciso criar situações – no registro de jogos, por exemplo – em que o controle de quantidades pela contagem de dedos ou pela memória não dê conta de garantir que se chegue ao resultado. “Essa preocupação é fundamental na hora de escolher a atividade a ser proposta”,

“Sem que a criança perceba por si própria a necessidade de registrar, dificilmente ela se envolverá em encontrar a melhor forma de fazê-lo para chegar a seus objetivos.” E descobrir como se faz bem o registro é a segunda condição para que a aprendizagem desse conteúdo de fato seja conquistada. Por isso, são fundamentais as intervenções do professor ao longo da atividade.

Um livro divertido e que faz com que a criança desenvolva sua criatividade e consequentemete exonha suas ideias e assim entre no processo de construçao do conhecimento e das noções da matatemática.

Através de uma leitura agradável elas aprendem e muito. Aconselho para a leitur de seus filhos também.

EXPERIENCIA PARA TER NOÇÕES DE ESPAÇO E FORMAS

Objetivos
- Descrever, interpretar e analisar a localização de pessoas e objetos.
- Utilizar informações e pontos de referência para escolher caminhos.

Conteúdos específicos
- Identificação de pontos de referência.
- Elaboração de itinerário.

Anos
1º e 2º.
Tempo estimadoQuatro aulas.
Material necessárioCópias de um esquema simples de quarteirões vizinhos à escola.

Desenvolvimento
1ª etapa

Leve os alunos para um passeio por algum local da vizinhança escolhido coletivamente. Peça que eles observem edifícios comerciais e equipamentos urbanos, como supermercado, padaria, farmácia, banca de revistas e praças. Eles devem anotar a localização de cada um para servir de referência na produção de um mapa da região.

2ª etapa
Divida a turma em grupos de quatro. Entregue a representação dos quarteirões visitados e peça que os estudantes assinalem os lugares observados no trajeto. Proponha uma discussão para comparar as produções.

 

3ª etapa
Crie algumas situações para que a garotada sugira caminhos:
- Pedro quer ir à biblioteca. Como ele pode chegar lá saindo da escola? Carlos sugere que ele ande três quarteirões, passando pela padaria. Júlio fala que é melhor seguir por duas quadras até a praça, virar à direita e caminhar mais duas quadras.
- Rafael convida Pedro para brincar e lhe dá a seguinte instrução: "Minha casa fica na esquina da escola. Você tem de andar três quarteirões”. Em pequenos grupos - e apoiados nas indicações –, os alunos tentarão marcar os edifícios citados no mapa. Pergunte se as instruções são claras. É mais fácil chegar à biblioteca com as dicas de Carlos ou com as de Júlio, que incluem um ponto de referência (praça) e uma orientação (à direita)? Assim você gera uma reflexão sobre como as relações de orientação (para a frente, para trás, à esquerda e à direita) e a inclusão de referências contribuem para expressar com maior eficiência a indicação de um itinerário.

Avaliação
Proponha a exploração de plantas baixas. Dê algumas pistas para que localizem um lugar no mapa e pergunte se elas são suficientes. Divida a turma em equipes. Elas devem imaginar um caminho e fornecer informações para outro grupo traçá-lo no mapa. Verifique se são usados pontos de referência e dicas de direção. Facilite a tarefa para os estudantes que apresentarem dificuldades.