Area e Volume do Cone!!!

Áreas 

Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento : 

Assim, temos de considerar as seguintes áreas: 

a) área lateral (AL): área do setor circular 

b) área da base (AB):área do circulo do raio R 

c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base 

Volume 

Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura: 

d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e 

S=área da superfície

Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: 

Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h: 

O CG do triângulo está a uma distância do eixo de rotação. Logo: 

GEOMETRIA ESPACIAL "CILINDRO E CONE"

Cilindro eqüilátero 

Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero. 

Cone circular 

Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos . 

Elementos do cone circular: 

Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos: 

altura: distância h do vértice V ao plano

geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência 

raio da base: raio R do círculo 

eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone 

Cone reto 

Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. 

Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação: 

g2 = h2 + R2

Secção meridiana 

A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana. 

Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero: 

Dessa forma vocês podem ter mais algumas informações sobre a geometria e se aperfeiçoar  a cada dia. Aproveitem!!!

GEOMETRIA ESPACIAL "CILINDRO"

Trazendo a todos informações matemáticas do Cilindro...

Classificação do Cilindro

      Um cilindro pode ser:

• circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
• circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

      Veja:

      O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado gera o cilindro a seguir:

      A reta contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

Secção

      Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

      Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

Áreas

      Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:

a) área lateral (A_L)

     Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

      Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :

b) área da base ( A_B):área do círculo de raio r

c) área total ( A_T): soma da área lateral com as áreas das bases

 Volume

      Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.

       Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

         Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = A_Bh.

         Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:

Vcilindro = ABh

          No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ;

portanto seu volume é:

 Acabaram de constatar que o sobre o cilindro muito mais fácil então aproveitem bem...

GEOMETRIA ESPACIAL "CILINDRO/CONE"

      Na seção de hoje vamos ver sobre o cilindro reto e partir par o cone, e melhorar mais ainda nosso aprendizado...

Cilindro eqüilátero

      Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero.

:

Cone circular

      Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos .

     

Elementos do cone circular

      Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• altura: distância h do vértice V ao plano
• geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
• raio da base: raio R do círculo
• eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone

Cone reto

      Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

      Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

g2 = h2 + R2

Secção meridiana

      A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.

      Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero: